孤子理论中的直接方法

第1章 孤子方程的双线性化

1.0 孤立波和孤子

当我们说到波的时候，通常想到的是如图1.1所示的波列。但是，当我们在靠近缓坡沙滩的海上冲浪的时候，利用的则是孤立波（图1.2）。孤子是一种孤立波，它和其他的同种类型的波碰撞以后保持不变。首先让我们来研究一下描述孤立波的波动方程。

具有孤子解的波动方程同时有非线性项和色散项。在研究如何求解波动方程之前，先让我们来看一下非线性项和色散项对波的行为的影响，同时尝试从直观的角度去探察孤立波在什么条件下能够存在。

《孤子理论中的直接方法》主要介绍处理双线性方程的技巧——“直接方法”。作者结合自己多年的研究成果，细致深入地阐述了求解非线性偏微分方程的精确解的过程，“广田方法”的要点，以及如何用Pfaff式统一显式表示多孤子解，由此提出了孤子方程可以看成Pfaff式恒等式的新观点。全书共分4章。第1章详细地描述“直接方法”的要点，以及用“直接方法”求解偏微分方程精确解的过程。第2章引入需要使用的数学工具，特别是行列式和Pfaff式理论，通过实例，深入浅出地介绍这些方面所涉及的技巧。第3章从直接方法的角度，讨论孤立子方程的数学结构。第4章详细讨论双线性Backlund变换。

《孤子理论中的直接方法》可供高等院校和科研机构的数学、物理、力学、光学等专业高年级大学生、研究生和教师阅读，也可供从事非线性科学、理论物理、数学物理和工程等方面的科技人员参考。