非连续正交函数

《数学与现代科学技术丛书》序

前言

绪论

0.1 什么是Gibbs现象

0.2 Gibbs现象严重影响信息重构

0.3 为什么研究用正交函数表达几何造型

0.4 什么是U-系统什么是V-系统

第1章 数值逼近基础

1.1 线性空间

1.2 Gram-Schmidt正交化过程

1.3 正交多项式

1.3.1 Legendre多项式

1.3.2 第一类Chebyshev多项式

1.3.3 其他重要的正交多项式

1.4 Fourier级数

1.5 小波函数

1.6 多项式插值及逼近

1.7 Weierstrass逼近定理与Bezier曲线

1.8 样条函数

1.8.1 B-样条基函数

1.8.2 多结点样条基本函数

1.9 函数的磨光与平滑

1.9.1 Lanczos因子

1.9.2 磨光算子的推广

1.10 面积坐标

1.11 区域的自相似剖分

问题与讨论

参考文献

第2章 Walsh函数与Haar函数

2.1 什么是Walsh函数

2.2 生成Walsh函数的信号复制方法

2.3 Walsh函数的其他定义

2.3.1 Gray码与Gray变换

2.3.2 Rademacher函数

2.3.3 用Rademacher函数定义Walsh函数

2.3.4 用Hadamard矩阵定义Walsh函数

2.4 快速Walsh变换

2.5 Haar函数

2.6 Walsh函数与Haar函数的联系

2.7 Walsh函数与Haar函数的变体

2.8 张量积形式的Walsh函数与Haar函数

小结

问题与讨论

参考文献

第3章 正交样条函数

3.1 正交的折线（1次样条）函数系

3.2 k（k>1）次正交样条函数系

3.3 Franklin函数系及其推广

3.4 样条曲线正交重构

3.5 样条曲面正交重构

小结

问题与讨论

参考文献

第4章 U-系统

4.1 1次U-系统的构造

4.2 1次U-系统的性质

4.2.1 正交性

4.2.2 序率性

4.2.3 再生性

4.3 1次u-系统的几何造型

4.4 高次u-系统的构造

4.5 k次u-系统的收敛性

4.6 1次u-系统与斜变换

4.7 斜变换快速算法

4.8 关于离散U-变换的注记

4.9 关于U-系统的变体

4.10 U-系统与预小波

4.11 参数曲线图组正交表达示例

小结

问题与讨论

参考文献

第5章 V-系统

5.1 从U-系统到V-系统

5.1.1 k次V-系统的构造

5.1.2 k=0，1，2，3的情形

5.2 从Franklin函数到V-系统

5.2.1 截断单项式函数

5.2.2 从截断单项式到V-系统

5.2.3 k=O，1，2，3的情形

5.3 有限区间上的正交多小波

5.4 V-系统的多小波性质

5.5 斜小波与V-系统

小结

问题与讨论

参考文献

第6章 三角域上的U-系统与V-系统

6.1 三角域上的Walsh函数

6.1.1 三角域上的Rademacher函数

6.1.2 三角域上P次序的Walsh函数

6.1.3 三角域上H次序的Walsh函数

6.2 三角域上的Haar函数

6.2.1从Haar矩阵到三角域上的Haar函数

6.2.2 Haar函数的不同排列次序

6.3 三角域上Walsh与Haar函数的性质

6.4 面积坐标下的计算

6.5 三角域上的1次U-系统与V-系统

6.6 k次U、V-系统

6.7 三角域上直角坐标下的U、V-系统

6.8 实验例子

6.9 关于三角域上正交多项式的注记

小结

问题与讨论

参考文献

第7章 描述子与矩函数

7.1 U、V-描述子

7.2 v-描述子检测例题

7.2.1 例题

7.2.2 关于预处理的注记

7.3 用v-描述子作聚类分析：Chernoff脸谱实例

7.4 V-描述子在形状分类和检索中的探索

7.5 空间三角网格模型的v-描述子例题

7.6 图组中的子图次序问题

7.6.1 子图排序的影响

7.6.2 能量计算及分段Legendre多项式

7.7 矩函数

7.7.1 几何矩

7.7.2 Zernike矩

7.8 关于球面调和函数

7.9 基于U、V-系统的矩函数

小结

问题与讨论

参考文献

第8章 几何模型的V-系统表达及其实现

8.1 三角网格模型

8.2 分解算法及其实现

8.2.1 分解算法框架

8.2.2 分解算法实现中的问题

8.3 重构算法及其实现

8.4 实验检测

8.4.1 实验环境

8.4.2 经典模型

8.4.3 非经典模型

8.4.4 群组模型

8.5 模型V-谱表达特点的探讨

8.5.1 对模型的滤波

8.5.2 V-谱的分区分层结构

小结

问题与讨论

参考文献

第9章 图像数值逼近中的正交重构问题

9.1 图像的规则非均匀剖分

9.2 非均匀剖分下v-系统的构造

9.3 自适应最佳基选择

9.4 二维非均匀V-系统及图像的区域剖分

9.5 图像的自适应非规则剖分

小结

问题与讨论

参考文献

附录 2次及3次三角域v-系统

A.1 2次三角域V-系统前两组基函数

A.2 3次三角域V-系统前两组基函数

索引

《数学与现代科学技术丛书》已出版书目

从傅立叶（Fourier）级数理论中的吉布斯（Gibbs）现象谈起，说明研究非连续正交函数的理论意义及实用价值。作为《非连续正交函数：U系统、V-系统、多小波及其应用》中心内容的U-系统与V-系统，是分段k次多项式组成的一类非连续正交函数系（k=01，2，3，…），其特例（k=0）恰恰分别为经典的沃尔什（Walsh）函数及哈尔（Haar）函数。《非连续正交函数：U系统、V-系统、多小波及其应用》详细阐述U-系统与V-系统构造与性质，并着重讨论了它们在信息重构中的应用；对某些图像处理、信号消噪、信息隐藏等问题展示其实用效果；特别在计算机辅助几何设计中，U-系统与V-系统提供了对几何图组作频谱分析的新途径。