数学物理方程

第1章数学建模和基本原理介绍

1.1数学模型的建立

1.1.1弦振动方程和定解条件

1.1.2热传导方程和定解条件

1.1.3泊松方程和定解条件

1.2定解问题的适定性

1.2.1一些基本概念

1.2.2适定性概念

1.3叠加原理

1.3.1叠加原理

1.3.2叠加原理的应用

1.4齐次化原理

1.4.1由含参变量积分或无穷级数表示的变换

1.4.2常微分方程中的齐次化原理

1.4.3偏微分方程中的齐次化原理

1.5二阶线性方程分类和化简

1.5.1二阶偏微分方程的分类

1.5.2两个自变量二阶偏微分方程的化简

习题1

第2章分离变量法

2.1特征值问题

2.1.1矩阵特征值问题

2.1.2一个二阶线性微分算子的特征值问题

2.2分离变量法

2.2.1弦振动方程定解问题

2.2.2热传导方程定解问题

2.2.3平面上位势方程边值问题

习题2

第3章贝塞尔函数

3.1二阶线性常微分方程的幂级数解法

3.1.1常系数线性方程的基解组

3.1.2变系数线性方程的幂级数解法

3.2贝塞尔函数

3.2.1函数

3.2.2贝塞尔方程和贝塞尔函数

3.2.3贝塞尔函数的性质

3.2.4贝塞尔方程的特征值问题

3.2.5圆域上拉普拉斯算子的特征值问题

3.2.6一些例子

3.3多个自变量分离变量法举例

3.3.1矩形域上定解问题

3.3.2圆柱体或圆域上定解问题

习题3

第4章积分变换法

4.1热传导方程柯西问题

4.1.1一维热传导方程柯西问题

4.1.2二维热传导方程柯西问题

4.2波动方程柯西问题

4.2.1一维波动方程柯西问题

4.2.2二维和三维波动方程柯西问题

4.2.3解的物理意义

4.3积分变换法举例

习题4

第5章格林函数法

5.1格林公式

5.2拉普拉斯方程基本解和格林函数

5.2.1基本解

5.2.2格林函数

5.3半空间及圆域上的狄利克雷问题

5.3.1半空间上狄利克雷问题

5.3.2圆域上狄利克雷问题

5.4一维热传导方程和波动方程半无界问题

5.4.1一维热传导方程半无界问题

5.4.2一维波动方程半无界问题

习题5

第6章特征线法

6.1一阶偏微分方程特征线法

6.1.1特征线法

6.1.2特征线法的应用举例

6.1.2.1交通流问题

6.1.2.2人口发展方程

6.2一维波动方程的特征线法

习题6

第7章勒让德多项式

7.1勒让德多项式

7.1.1勒让德方程及勒让德多项式

7.1.2勒让德多项式的生成函数和递推公式

7.1.3勒让德多项式的微分表示形式

7.1.4勒让德方程特征值问题

7.2球面调和函数和球形贝塞尔函数

7.2.1拉普拉斯算子的其他表示形式

附录1测验题

附录2部分习题答案。提示或解答

附录3参考文献

本书是在编者2008年出版的《数学物理方法》一书中后半部分内容的基础上，为适应高等学校非数学类理工科专业数学物理方程课程的教学需要而编写的。 本书主要包括偏微分方程定解问题的建立、分离变量法、积分变换法、格林函数法和特征线法等内容。除了在原有内容上做了较大的修改和完善外，还增加了勒让德多项式一章。 本书以解的结构为主线，比较系统地介绍了求解偏微分方程定解问题的基本思想和主要方法。它既可以作为高等学校相关专业本科生和研究生的教材或参考书，也可供教师和科学技术工作者阅读参考。