复变函数初步

第1章 复数与复变函数

1.1 复数

1.1.1 复数与共轭复数

1.1.2 复平面与复数的表示

1.1.3 无穷远点与扩充复平面

1.2 复平面上的拓扑

1.2.1 平面点集的几个基本概念

1.2.2 平面区域与若当曲线

1.3 复变函数

1.3.1 复变函数的基本概念

1.3.2 复变函数的极限与连续

习题1

第2章 解析函数与初等解析函数

2.1 解析函数的概念和柯西-黎曼条件

2.1.1 解析函数的概念

2.1.2 柯西-黎曼条件

2.1.3 解析函数实部与虚部的调和性

2.2 初等单值解析函数

2.2.1 复指数函数

2.2.2 复三角函数与复双曲函数

2.3 初等多值解析函数

2.3.1 辐角函数

2.3.2 对数函数

2.3.3 根式函数与一般幂函数

2.4 问题研究

习题2

第3章 柯西积分定理与柯西积分公式

3.1 复积分的概念、基本计算与基本性质

3.1.1 复积分

3.1.2 复积分的基本计算

3.1.3 复积分的基本性质

3.2 柯西积分定理

3.2.1 单连通区域内的柯西积分定理及其推广

3.2.2 不定积分

3.2.3 多连通区域上的柯西积分定理（复合闭路定理）

3.2.4 单连通区域内柯西积分定理的证明

3.3 柯西积分公式

3.3.1 柯西积分公式

3.3.2 解析函数的若干性质

3.3.3 柯西不等式和刘维尔定理

3.4 问题研究

习题3

第4章 解析函数的幂级数展开与唯一性

4.1 复级数

4.1.1 复数列与复数项级数

4.1.2 复函数项级数的一致收敛与判别

4.1.3 复函数项级数和函数的性质

4.2 幂级数

4.2.1 幂级数的敛散性

4.2.2 幂级数的收敛半径

4.2.3 幂级数的性质

4.3 泰勒定理与解析函数的幂级数展开

4.3.1 泰勒定理与解析函数的幂级数定义法

4.3.2 初等解析函数的幂级数展开

4.4 解析函数零点的孤立性与唯一性

4.4.1 解析函数零点的孤立性

4.4.2 解析函数的唯一性

4.4.3 最大模原理与施瓦茨引理

习题4

第5章 解析函数的洛朗展开与孤立奇点

5.1 解析函数的洛朗展式

5.1.1 洛朗级数的收敛性及其和函数的解析性

5.1.2 解析函数的洛朗展开定理

5.1.3 解析函数洛朗展式的求法

5.2 解析函数的孤立奇点

5.2.1 孤立奇点的分类

5.2.2 各类有限孤立奇点的特征

5.3 解析函数在无穷远点的性质

5.3.1 ∞为孤立奇点的定义

5.3.2 孤立奇点∞与有限孤立奇点的关系及分类

5.3.3 孤立奇点∞为各类孤立奇点的判定

5.4 整函数与亚纯函数的分类

5.4.1 整函数的定义与分类

5.4.2 亚纯函数的定义与分类

习题5

第6章 留数理论与辐角原理

6.1 留数的一般理论

6.1.1 留数的定义与留数定理

6.1.2 留数的算法

6.1.3 无穷远点处的留数与留数定理的推广

6.2 利用留数计算实积分

6.3 辐角原理及其应用

6.3.1 辐角原理

6.3.2 儒歇定理

6.3.3 单叶解析函数的导数特征

习题6

第7章 共形映射

7.1 解析映射的特征

7.1.1 解析映射的保域性

7.1.2 解析映射的保角性

7.1.3 单叶解析映射的共形性

7.2 分式线性映射

7.2.1 分式线性映射的概念及其分解

7.2.2 分式线性映射的性质

7.2.3 分式线性映射的应用

7.3 几类初等函数所构成的共形映射

7.3.1 幂函数与根式函数

7.3.2 指数函数与对数函数

7.3.3 初等函数构成的共形映射的应用

7.4 黎曼存在定理与边界对应定理

7.4.1 解析映射的一个基本问题

7.4.2 黎曼存在及唯一性定理

7.4.3 边界对应定理

习题7

索引

参考文献

《复变函数初步/普通高等教育“十二五”规划教材·新世纪新理念高等院校教学改革与教材建设精品教材》七章，内容包括：复数与复变函数、解析函数与初等解析函数、柯西积分定理与柯西积分公式、解析函数的幂级数展开与唯一性、解析函数的洛朗展开与孤立奇点、留数及其应用、共形映射。
　　《复变函数初步/普通高等教育“十二五”规划教材·新世纪新理念高等院校教学改革与教材建设精品教材》选材经典、思路清晰、叙述简练、推导严谨，既兼顾复变函数与数学分析的密切联系，强调分析思想、方法的巩固和训练，又突出复变函数理论本身的特点。为方便读者学习、理解和训练，本书还配有一定数量的图形，并且每章将习题分为A、B两组，其中A组题为基础题，B组题为能力提高题，适宜于教学中灵活使用。
　　《复变函数初步/普通高等教育“十二五”规划教材·新世纪新理念高等院校教学改革与教材建设精品教材》可作为综合性大学和高等师范院校数学专业及相关专业的教材或教学参考书，也可供有关研究人员、科技工作者使用。