拓扑线性空间与算子谱理论

第一章 拓扑线性空间

线性空间

拓扑线性空间的局部基

有界性、可度量化、完备性

局部凸空间

有限维空间、积空间、商空间

若干例子

习题一

第二章 拓扑线性空间的若干基本定理

一致有界原理

开映射与闭图像定理

HahnBanach延拓定理

习题二

第三章 局部凸空间的共轭理论

弱拓扑

弱*拓扑

Banach空间的共轭、自反性

弱拓扑的几个应用

紧凸集的端点表现与不动点性质

习题三

第四章Banach代数

Banach代数与理想

Gelfand变换

C*代数

正元与正泛函

习题四

第五章Hilbert空间上有界算子的谱理论

Hilbert空间与空间上的几类算子

紧算子、Fredholm算子及其谱

紧算子的若干例子

正规算子的谱

极分解、vN代数、GNS构造

习题五

第六章 无界算子的谱理论

闭稠定自伴算子

对称算子的扩张及扰动

无界正规算子的谱

算子半群

Markov过程、遍历定理

习题六

附录A 关于集合论的若干公理

附录8 点集拓扑知识提要

参考书目

名词索引

《现代数学基础：拓扑线性空间与算子谱理论》共由六章和两个附录组成。大致说来，前面三章叙述拓扑线性空间的一般理论。第一章包括拓扑线性空间的基本属性，它的局部基的构造、可度量化以及局部凸空间的特征。第二章是在拓扑线性空间框架下的几个最具重要性的基本定理，包括共鸣定理、开映射定理、闭图像定理以及线性泛函的Hahn—Banach延拓定理等，有关结果与赋范空间有很强的可类比性。第三章讲解局部凸空间的共轭理论，主要是局部凸空间的弱拓扑、共轭空间的弱*拓扑以及它们的某些应用，其中还包括Banach空间的共轭、自反性以及紧凸集的端点性质等。后面三章是关于Banach代数与算子谱理论。第四章讲述Banach代数、Gelfand变换以及C*代数、正泛函的有关知识。第五章着重于Hilbert空间上的有界线性算子的谱特性与谱分解定理，主要对象是紧算子、Fredholm算子和有界正规算子。第六章讲述无界线性算子的谱理论，包括闭稠定自伴算子、对称算子与无界正规算子。最后介绍谱理论在算子半群理论与遍历理论中的一些应用。书中在讲解上述理论知识的同时，还选取相当数量的实际例子加以阐释，以期加强基本理论和实际应用之间的相互联系。正文之外我们还安排了两个附录，附录A罗列了关于集合论的几个公理，附录B集中阐述了《现代数学基础：拓扑线性空间与算子谱理论》所用到的一些点集拓扑方面的知识。