计算方法

第1章 引论

1.1 从数学到计算

1.2 误差理论初步

1.2.1 误差的来源

1.2.2 误差的度量

1.2.3 误差的传播

1.2.4 数值稳定性

1.3 数值计算的若干原则

1.3.1 避免两个相近数相减

1.3.2 避免用绝对值过小的数作为除数

1.3.3 要防止大数“吃掉”小数

1.3.4 简化计算步骤，提高计算效率

1.3.5 使用数值稳定的算法

本章小结

习题1

第2章 计算方法的数学基础

2.1 微积分的有关概念和定理

2.1.1 数列与函数的极限

2.1.2 连续函数的性质

2.1.3 罗尔定理和微分中值定理

2.1.4 积分加权平均值定理

2.2 微分方程的有关概念和定理

2.2.1 基本概念

2.2.2 初值问题解的存在唯一性

2.3 线性代数的有关概念和定理

2.3.1 线性相关和线性无关

2.3.2 方阵及其初等变换

2.3.3 线性方程组解的存在唯一性

2.3.4 特殊矩阵

2.3.5 方阵的逆及其运算性质

2.3.6 矩阵的特征值及其运算性质

2.3.7 对称正定矩阵

2.3.8 对角占优矩阵

2.3.9 向量和连续函数的内积

2.3.10 向量、矩阵和连续函数的范数

2.3.11 向量序列与矩阵序列的极限

本章小结

习题2

第3章 方程求根

3.1 引言

3.2 二分法

3.3 迭代法

3.3.1 不动点迭代

3.3.2 迭代法的收敛性

3.3.3 迭代法的改善

3.4 牛顿迭代法

3.4.1 牛顿迭代公式及其几何意义

3.4.2 牛顿迭代公式的收敛性

3.4.3 重根情形

3.5 弦截法

本章小结

习题3

第4章 解线性方程组的直接法

4.1 引言

4.2 高斯消去法

4.2.1 顺序高斯消去法

4.2.2 主元素高斯消去法

4.2.3 高斯-约当消去法

4.3 矩阵三角分解法

4.3.1 高斯消去法与矩阵三角分解

4.3.2 直接三角分解法

4.4 解三对角方程组的追赶法

4.5 误差分析

4.5.1 病态方程组与条件数

4.5.2 病态方程组的解法

本章小结

习题4

第5章 解线性方程组的迭代法

5.1 引言

5.2 雅可比迭代法

5.3 高斯-塞德尔迭代法

5.4 迭代法的收敛性

本章小结

习题5

第6章 函数插值

6.1 引言

6.1.1 插值问题

6.1.2 插值多项式的存在唯一性

6.2 拉格朗日插值

6.2.1 线性插值与抛物插值

6.2.2 拉格朗日插值

6.2.3 插值余项与误差估计

6.3 牛顿插值

6.4 埃尔米特插值

6.5 分段低次插值

6.5.1 高次插值与龙格现象

6.5.2 分段线性插值

6.5.3 分段三次埃尔米特插值

6.6 样条函数插值

6.6.1 三次样条插值函数

6.6.2 三次样条插值函数的求法

本章小结

习题6

第7章 函数逼近

7.1 引言

7.2 函数的内积与正交多项式

7.2.1 权函数和函数的内积

7.2.2 正交函数系

7.2.3 勒让德多项式

7.2.4 切比雪夫多项式

7.3 最佳一致逼近

7.3.1 基本概念

7.3.2 线性最佳一致逼近多项式

7.3.3 近似最佳一致逼近多项式

7.4 最佳平方逼近

7.4.1 基本概念

7.4.2 最佳平方逼近函数

7.5 离散数据的曲线拟合

7.5.1 曲线拟合问题

7.5.2 多项式拟合

7.5.3 正交多项式拟合

本章小结

习题7

第8章 数值积分与数值微分

8.1 引言

8.1.1 数值求积的必要性

8.1.2 数值积分的基本思想

8.1.3 代数精度

8.1.4 插值型求积公式

8.2 牛顿-柯特斯求积公式

8.2.1 牛顿-柯特斯公式的导出

8.2.2 牛顿-柯特斯公式的误差估计

8.3 复合求积公式

8.3.1 复合梯形求积公式

8.3.2 复合辛普生求积公式

8.4 外推算法与龙贝格算法

8.4.1 变步长的求积公式

8.4.2 外推算法

8.4.3 龙贝格求积公式

8.5 高斯求积公式

8.5.1 高斯点与高斯求积公式

8.5.2 高斯-勒让德求积公式

8.5.3 高斯求积公式的稳定性和收敛性

8.6 数值微分

8.6.1 中点公式

8.6.2 插值型微分公式

本章小结

习题8

第9章 常微分方程初值问题的数值解法

9.1 引言

9.2 欧拉公式

9.2.1 欧拉公式及其意义

9.2.2 欧拉公式的变形

9.3 单步法的局部截断误差和方法的阶

9.4 龙格-库塔方法

9.4.1 龙格-库塔方法的基本思想

9.4.2 二阶龙格-库塔方法的推导

9.4.3 四阶经典龙格-库塔方法

9.5 单步法的收敛性和稳定性

9.5.1 单步法的收敛性

9.5.2 单步法的稳定性

本章小结

习题9

第10章 矩阵特征值计算

10.1 引言

10.2 幂法及反幂法

10.2.1 幂法

10.2.2 反幂法

10.3 QR方法

10.3.1 反射变换

10.3.2 矩阵的QR分解

10.3.3 QR方法

10.4 雅可比方法

10.4.1 平面旋转矩阵

10.4.2 雅可比方法及其改进

本章小结

习题10

第11章 函数优化计算

11.1 引言

11.2 一元函数优化计算

11.2.1 牛顿法

11.2.2 拟牛顿法

11.2.3 黄金分割法

11.3 多元函数优化计算

11.3.1 多元函数有最优解的条件

11.3.2 多元函数数值求解的原则

11.3.3 梯度法

11.3.4 牛顿法

11.3.5 共轭方向法

11.3.6 拟牛顿法（变尺度法）

本章小结

习题11

第12章 MATLAB编程基础及其在计算方法中的应用

12.1 MATLAB简介

12.2　命令窗口和基本命令

12.3 变量、常量和数据类型

12.4 数值运算

12.4.1 向量运算

12.4.2 矩阵运算

12.5 符号运算

12.5.1 字符串运算

12.5.2 符号表达式运算

12.5.3 符号矩阵运算

12.5.4 符号微积分运算

12.5.5 方程求解

12.6 图形可视化

12.6.1 二维图形绘制

12.6.2 三维图形绘制

12.7 程序设计

12.7.1 命令文件与函数文件

12.7.2 控制语句

12.7.3 调试方法

12.8 MATLAB在计算方法中的应用

12.8.1 方程求根

12.8.2 解线性方程组的直接法

12.8.3 解线性方程组的迭代法

12.8.4 函数插值

12.8.5 函数逼近

12.8.6 数值积分

12.8.7 常微分方程的数值解法

12.8.8 矩阵特征值问题计算

12.8.9 函数优化计算

本章小结

习题12

《计算机类本科规划教材：计算方法（第2版）》比较全面地介绍了现代科学与工程计算中常用的数值计算方法。全书共分12章，主要内容有：引论、计算方法的数学基础、方程求根、解线性方程组的直接法、解线性方程组的迭代法、函数插值、函数逼近、数值积分与数值微分、常微分方程初值问题的数值解法、矩阵特征值计算、函数优化计算和MATLAB编程基础及其在计算方法中的应用。