高等数学

第一章 函数与极限

第一节 变量与函数

一、实数及其性质

二、数轴、集合、区间、邻域

三、函数及其图形

四、几类重要的分段函数

五、函数的几种特性

六、反函数

七、函数的四则运算法则与复合函数

八、初等函数与双曲函数

习题1-1

第二节 数列的极限

一、数列极限的定义

二、收敛数列的性质

三、收敛数列的四则运算

四、数列极限存在的判别准则

五、子数列的收敛性

六、重要极限

习题1-2

第三节 函数的极限

一、自变量趋于有限值时函数的极限

二、自变量趋于无穷大时函数的极限

三、单侧极限

四、函数极限的性质

五、无穷小量与无穷大量

六、函数极限与数列极限的关系

习题1-3

第四节 函数极限的四则运算与复合函数的极限

一、函数极限的四则运算

二、复合函数的极限运算

习题1-4

第五节 重要极限无穷小的比较

一、函数极限存在准则

二、两个重要极限

三、无穷小阶的比较

习题1-5

第六节 函数的连续性与间断点

一、函数的连续性概念

二、连续函数的运算法则

三、函数的间断点及其分类

四、闭区间上连续函数的性质

习题1-6

第七节 Mathematica在函数、极限与连续中的应用

一、Mathematica基础知识

二、Mathematica在函数、极限中的应用

本章小结

总习题

第二章 导数与微分

第一节 导数的概念

一、引例

二、导数的定义

三、导函数

四、导数的几何意义

五、函数的可导性与连续性的关系

六、导数在其它学科中的含义--变化率

习题2-1

第二节 微分的概念

一、微分的定义

二、微分的几何意义

三、利用微分进行近似计算

习题2-2

第三节 函数的微分法

一、函数和、差、积、商的导数与微分法则

二、复合函数的微分法

三、反函数的微分法

四、初等函数的微分

习题2-3

第四节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数

一、隐函数求导

二、对数求导法

三、参数方程确定的函数的导数

四、相关变化率

习题2-4

第五节 高阶导数与高阶微分

一、高阶导数

二、高阶求导法则

三、高阶微分

习题2-5

第六节 Mathematica的应用--导数与微分的计算

一、基本命令

二、实验举例

第七节 几种常用的曲线

本章小结

总习题二

第三章 微分中值定理与导数的应用

第一节 微分中值定理

一、罗尔定理

二、拉格朗日中值定理

三、柯西中值定理

习题3-1

第二节 洛必达法则

一、0/0型未定式

二、∞/∞型未定式

三、其它类型的未定式

习题3-2

第三节 泰勒公式

习题3-3

第四节 函数的单调性与极值判定

一、函数的单调性及其判定

二、函数的极值及其判定

三、最大值和最小值问题

习题3-4

第五节 曲线的凹凸性与拐点

习题3-5

第六节 函数图形的描绘

一、曲线的渐近线

二、函数的作图

习题3-6

第七节 曲率

一、曲率

二、曲率圆与曲率半径

三、曲率中心的计算公式渐屈线与渐伸线

习题3-7

第八节 Mathematica在导数中的应用

一、基本命令

二、实验举例

本章小结

总习题三

第四章 一元函数积分学及其应用

第一节 定积分的概念

一、定积分问题举例

二、定积分定义

三、定积分的存在性

习题4-1

第二节 定积分的性质

一、定积分的基本性质

二、积分中值定理

习题4-2

第三节 微积分基本公式与基本定理

一、微积分基本公式

二、微积分基本定理

习题4-3

第四节 不定积分的基本积分法

一、不定积分概念与性质

二、基本积分表

三、换元积分法

四、分部积分法

习题4-4

第五节 有理函数的积分

一、有理函数的积分

二、可化为有理函数的积分

习题4-5

第六节 定积分的计算法

习题4-6

第七节 定积分的应用

一、定积分的元素法

二、定积分在几何学中的应用

三、定积分在物理学中的应用

习题4-7

第八节 反常积分

一、问题提出

二、无穷限的反常积分

三、无界函数的反常积分

四、反常积分的审敛法

五、Γ函数

习题4-8

第九节 Mathematica在一元积分学中的应用

一、不定积分的计算

二、定积分的计算

三、定积分的应用

本章小结

总习题四

第五章 无穷级数

第一节 常数项级数的概念与性质

一、常数项级数的概念

二、收敛级数的基本性质

三、柯西收敛原理

习题5-1

第二节 常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法

二、交错级数及其审敛法

三、绝对收敛与条件收敛

习题5-2

第三节 幂级数

一、函数项级数的概念

二、幂级数及其收敛性

三、幂级数的运算

四、和函数的性质

习题5-3

第四节 函数展开成幂级数及其应用

一、泰勒级数

二、函数展开成幂级数

三、函数幂级数展开式的应用

习题5-4

第五节 傅里叶级数

一、问题的提出

二、三角函数系的正交性

三、函数展开成傅里叶级数

四、正弦级数与余弦级数

五、定义在有限区间[a,b]上的函数展开成傅里叶级数

六、定义在区间[0，l]上的函数展开成正弦级数或余弦级数

七、傅里叶级数的复数形式

习题5-5

第六节 Mathematica在级数中的应用

一、基本命令

二、实验举例

本章小结

总习题五

习题答案与提示

参考文献

《高等学校教材：高等数学（上）》是根据多年教学实践，参照“工科类本科数学基础课程教学基本要求”和《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》，按照新形势下教材改革的精神编写而成。与同类教材不同，本书将数学软件Mathematica融入到教学实践环节中，对传统的高等数学教学内容和体系进行适当整合，力求严谨清晰，富于启发性和可读性。
全书分上、下两册。上册内容为函数与极限，导数与微分，微分中值定理与导数的应用，一元函数积分学及其应用和无穷级数。下册内容为向量代数与空间解析几何，多元函数微分学及其应用，重积分，曲线积分与曲面积分及常微分方程。书中还配备了丰富的例题和习题，分为A（为一般基本要求）、B（有一定难度和深度）两类，便于分层次教学。
《高等学校教材：高等数学（上）》可作为高等学校理、工科各类专业高等数学课程的教材。

《高等学校教材：高等数学（上）》立足于重点院校和普通高等院校高等数学教学的需要，对于传统的高等数学教学内容和体系进行了适当的整合，力求使教材体系更合理、系统和完整；并能恰当处理好数学发现与知识传授的关系，使之更符合教学规律与认知规律，从而既便于教师使用，又便于学生自学。《高等学校教材：高等数学（上）》上册介绍一元函数与极限，一元函数微分学，中值定理及应用，一元函数积分学和级数。