线性代数及其应用

第1章预备知识

线性空间和同构

子空间

线性相关

基和维数

商空间

第2章对偶

线性函数

线性空间的对偶

零化子

余维数

求积公式

第3章线性空间

域空间与目标空间

零空间与值域

基本定理

线性方程亚定组

插值

差分方程

线性映射的代数

转置

零空间与值域的维数

相似

投射

第4章矩阵

行和列

矩阵乘法

转置

秩

高斯消元法

第5章行列式和迹

有序单形

带符号的体积

置换群

行列式公式

乘法性质

拉普拉斯展开

克拉默法则

迹

第6章谱理论

线性映射的迭代

本征值与本征向量

斐波那契序列

本征多项式

再谈迹与行列式

谱映射定理

凯莱-哈密顿定理

广义本征向量

谱定理

极小多项式

矩阵何时相似？

交换映射

第7章欧几里得结构

标量积与距离

施瓦茨不等式

标准正交基

格拉姆-施密特方法

正交补

正交投影

伴随

超定方程组

等距映射

正交群

线性映射的范数

完备性与局部紧致性

复欧几里得空间

谱半径

希尔伯特-施密特范数

向量积

第8章欧几里得空间自伴随映射的谱理论

二次型

惯性律

谱分解

交换映射

反自伴随映射

正规映射

瑞利商

最小最大原理

范数和本征值

第9章向量值函数、矩阵值函数的微积分学

依范数收敛

求导法则

detA(t)的导数

矩阵幂

单本征值

多重本征值

雷利希定理

错开交叉

第10章矩阵不等式

正定的自伴随矩阵

单调矩阵函数

格拉姆矩阵

舒尔定理

正定矩阵的行列式

行列式积分公式

本征值

分隔本征值

维兰德-霍夫曼定理

最小、最大本征值

自伴随部分正定的矩阵

极分解

奇异值

奇异值分解

第11章运动学与动力学

旋转轴、转角

刚体运动

角速度向量

流体运动

旋度与散度

小幅振动

能量守恒

简正振型与固有频率

第12章凸集

凸集

度规函数

哈恩-巴拿赫定理

支撑函数

卡拉泰奥多里定理

寇尼希-伯克霍夫定理

黑利定理

第13章对偶定理

法卡斯-闵可夫斯基定理

对偶定理

经济学上的解释

最小最大定理

第14章赋范线性空间

范数

lp范数

范数的等价性

完备性

局部紧致性

里斯定理

对偶范数

向量到子空间的距离

赋范商空间

复赋范线性空间

复哈恩-巴拿赫定理

欧几里得空间的特征

第15章赋范线性空间之间的线性映射

线性映射的范数

转置映射的范数

映射的赋范代数

可逆映射

谱半径

第16章正矩阵

佩龙定理

随机矩阵

弗罗贝尼乌斯定理

第17章怎样解线性方程组

历史回顾

条件数

迭代法

最速下降法

基于切比雪夫多项式的迭代法

基于切比雪夫多项式的三项迭代法

优化的三项递推法

收敛速度

第18章如何计算自伴随矩阵的本征值

QR分解

利用QR分解求解方程组

求本征值的QR算法

基于豪斯霍尔德反射的QR分解

三对角矩阵

模拟QR算法的托达流

默泽尔定理

更一般的流

部分练习答案

参考文献

附录1特殊行列式

附录2普法夫多项式

附录3辛矩阵

附录4张量积

附录5格

附录6快速矩阵乘法

附录7格希高瑞定理

附录8本征值的重数

附录9快速傅里叶变换

附录10谱半径

附录11洛伦兹群

附录12单位球的紧致性

附录13换位子的特征

附录14李亚普诺夫定理

附录15若当标准形

附录16数值域

索引

　　本书是在Lax教授多年来为纽约大学柯朗数学研究所一年级研究生授课的讲稿基础上整理而成的。书中Lax以分析的眼光、理论联系应用的观点讲述线性代数，为读者展开了一片新的视野，为线性代数教学的改革揭开了新的篇章。其中的内容除极少部分以外，基本都只需要读者了解线性代数的基本知识。第2版沿袭了第l版的框架，力图呈现线性代数的理论与应用的全貌，为有利于教学，补充了第1版中过于简短的叙述，增加了练习并且补充了部分练习的答案。此外，还增加了相当一部分新内容，例如，增加了计算自伴随矩阵本征值的QR算法一章内容和快速傅里叶变换、洛伦兹群等8个附录。　　本书全面覆盖线性方程组、矩阵、向量空间、博弈论和数值分析等内容，理论和应用相结合。尤其介绍了凸集、对偶定理、赋范[线性]空间、赋范[线性]空间之间的线性映射以及自伴随矩阵本征值的计算等一般教材上没有的内容。为方便读者学习，每章都有练习，并提供解答。书后还有辛矩阵、洛伦兹群、数值域等16个附录。　　本书是一本可供高年级本科生和研究生使用的优秀教材，同时也是数学教师和相关研究人员的一本很好的参考书。【作者简介】　　PeterD.Lax，当代最杰出的数学家之一，世界数学界最高荣誉阿贝尔奖(2005年)和沃尔夫奖(1987年)得主。他是美国科学院院士，并于1986年荣获美国国家科技奖章。Lax生于匈牙利，自1958年开始就一直在美国纽约大学从事教学与研究工作，曾担任柯朗数学研究所所长。他在纯数学与应用数学的诸多领域都有卓越的建树，影响深远。同时，他一生致力于数学教育，独立撰写或与他人合著教材20多部。阿贝尔奖颁奖辞如此评价他：“他的著作、他对教育事业付出的毕生心血以及他在培养年轻一代数学家时体现出的孜孜不倦的精神，在世界数学领域留下了不可磨灭的影响。”