奇异摄动导论

《奇异摄动丛书》序言

前言

第1章引论

1.1摄动理论溯源

1.1.1常微分方程发展历程的简要回顾

1.1.2摄动方法及理论的起源与发展

1.2正则摄动与奇异摄动

1.3渐近序列与渐近级数

1.3.1渐近序列

1.3.2渐近展开式

1.3.3渐近级数

1.3.4渐近与收敛

1.4无量纲化

参考文献

第2章经典摄动方法简介

2.1变形坐标法

2.1.1变形坐标法的基本思想

2.1.2Lindstedt—Poincare方法（L—P方法）

2.1.3Lighthill技巧

2.1.4重正化方法

2.1.5Temple技巧

2.1.6变形坐标法的适用性

2.2平均法

2.2.1KB平均法

2.2.2一种推广的平均法——KBM方法

2.3匹配展开法

2.3.1匹配展开法的基本思想

2.3.2Prandtl匹配原则

2.3.3边界层位置的确定

2.3.4vanDyke匹配原理

2.3.5几点说明

2.4合成展开法

2.4.1合成展开法的基本思想

2.4.2例

2.5WKB近似法

2.5.1最简单的三类二阶常微分方程

2.5.2Liouville—Green变换

2.5.3WKB近似

2.5.4转向点

2.6多重尺度法

2.6.1多重尺度法的基本思想

2.6.2两变量展开法

2.6.3推广的多重尺度法

2.7奇异摄动理论和方法的一些发展动向

参考文献

第3章吉洪诺夫定理和边界层函数法

3.1引论

3.2吉洪诺夫定理

3.3初值问题形式渐近解的构造方法

3.4初值问题的瓦西里耶娃定理

3.4.1定理的叙述

3.4.2微分和积分方程组的向量一矩阵形式记法

3.4.3边界层函数的估计

3.4.4定理3.4.1的证明

3.4.5引理3.4.2的证明

3.5奇异摄动边值问题

3.5.1双边界层问题

3.5.2分块矩阵及其运算

3.5.3条件稳定，不变流形S+和S—

3.5.4边值问题的提法

3.5.5构造渐近展开式的算法

3.5.6基本定埋的叙述

3.5.7边界函数的估计

3.5.8余项方程

3.6—般奇异摄动边值问题

参考文献

第4章微分不等式理论和方法

4.1Nagumo定理及其推广形式

4.1.1纯量问题

4.1.2向量问题

4.2二阶常微分方程

4.3高阶微分方程

4.4偏微分方程

参考文献

第5章奇异奇摄动问题

5.1临界情况下的奇摄动初值问题

5.1.1定义、假设和辅助结果

5.1.2初值问题解的渐近构造

5.1.3定理的陈述和余项估计

5.2奇异奇摄动边值问题

5.2.1引论

5.2.2假设和形式级数的渐近展开

5.2.3存在唯一性结果

5.2.4拟线性奇摄动方程组边值问题

5.2.5例子

参考文献

第6章快—慢系统的慢流形和鸭解问题

6.1快—慢系统的慢流形

6.1.1引言

6.1.2慢流形定理

6.1.3慢流形的渐近近似

6.2鸭解问题及其研究概况

6.3平面系统中的鸭解问题

6.3.1临界流形为通有折情形

6.3.2临界流形为相交曲线情形

6.4高维系统中的鸭解问题

6.4.1具有一个快变量的三维奇摄动系统

6.4.2一个表面氧化模型中的鸭现象

6.4.3高维奇异摄动系统的鸭流形

参考文献

第7章转向点问题

7.1转向点理论的产生与发展

7.2WKB方法

7.3Langer变换

7.4线性方程的转向点问题与A—O共振

7.5非线性方程的转向点问题

参考文献

第8章偏微分方程奇异摄动问题

8.1椭圆型方程奇异摄动问题

8.2奇异摄动问题的内层解

8.3两参数奇异摄动问题

8.4高阶方程奇异摄动问题

8.5长期型奇异摄动问题

8.6反应扩散方程奇异摄动问题的广义解

参考文献

第9章奇异摄动的应用

9.1两个自由度的陀螺系统

9.1.1两个自由度的陀螺系统

9.1.2消除长期项

9.2薄板弯曲问题的匹配解

9.2.1薄板弯曲的挠度模型及其外部解

9.2.2环形薄板模型的内层解

9.2.3零次内层解及其与外部解匹配

9.2.4—次内层解及其与外部解匹配

9.2.5解的合成展开式

9.3非线性捕食一被捕食系统

9.3.1捕食一被捕食系统

9.3，2构造形式解

9.3.3一致有效性

9.4大气等离子体反应扩散模型

9.4.1等离子体反应扩散模型

9.4.2模型的外部解

9.4.3初始层校正项

9.4.4渐近解的一致有效性

9.4.5举例

参考文献

索引

《奇异摄动丛书》书目

张伟江主编的《奇异摄动导论》作为《奇异摄动丛书》的第一分册，既是一本学习奇异摄动理论的入门读物，也是进一步研究奇异摄动理论的引导读物。本书系统、简要地介绍奇异摄动理论的起源、基本概念、经典方法、主要理论、当代发展和实际应用，为读者提供奇异摄动理论的一个全景概貌和基本线索，使读者从宏观的视野，较快、较全面地了解奇异摄动问题研究的基本思想、方法、方向和意义，既为读者进一步学习打下必要的基础，也为读者进一步研究指出方向，读者可以根据需要或兴趣进一步阅读其他几个专题分册。本书系统、简明地介绍了奇异摄动理论的起源、基本概念、经典方法、主要理论和当代发展，为读者提供了奇异摄动理论的一个全景概貌和基本线索，既为读者进一步学习打下必要的基础，也为读者进一步研究指出了方向。内容包括：引论、经典摄动方法、漫流型和鸭解问题、转向点问题、偏微分方程奇异摄动问题等。