代数学

引言

第1章数与集合

1.1集合

1.2映射，势

1.3自然数序列

1.4有限与可数集合

1.5分类

第2章群

2.1群的概念

2.2子群

2.3群子集的运算，陪集

2.4同构与自同构

2.5同态，正规子群，商群

第3章环与域

3.1环

3.2同态与同构

3.3商的构成

3.4多项式环

3.5理想，同余类环

3.6整除性，素理想

3.7Euclid环与主理想环

3.8因子分解

第4章向量空间和张量空间

4.1向量空间

4.2维数不变性

4.3对偶向量空间

4.4体上的线性方程组

4.5线性变换

4.6张量

4.7反对称双线性型与行列式

4.8张量积，缩并与迹

第5章多项式

5.1微分法

5.2多项式的零点

5.3内插公式

5.4因子分解

5.5不可约性判定标准

5.6因子分解在有限步下的完成

5.7对称函数

5.8两个多项式的结式

5.9结式作为根的对称函数

5.10有理函数的部分分式分解

第6章域论

6.1子体，素体

6.2添加

6.3单纯域扩张

6.4域的有限扩张

6.5域的代数扩张

6.6单位根

6.7Galois域(有限域)

6.8可分与不可分扩张

6.9完全域及不完全域

6.10代数扩张的单纯性，本原元素定理

6.11范数与迹

第7章群论续

7.1带算子的群

7.2算子同构和算子同态

7.3两个同构定理

7.4正规群列与合成群列

7.5pn阶群

7.6直积

7.7群的特征标

7.8交错群的单纯性

7.9可迁性与本原性

第8章Galois理论

8.1Galois群

8.2Galois理论的基本定理

8.3共轭的群、域与域的元素

8.4分圆域

8.5循环域与纯粹方程

8.6用根式解方程

8.7n次一般方程

8.8二次、三次与四次方程

8.9圆规与直尺作图

8.10Galois群的计算，具有对称群的方程

8.11正规基

第9章集合的序与良序

9.1有序集合

9.2选择公理与Zorn引理

9.3良序定理

9.4超限归纳法

第10章无限域扩张

10.1代数封闭域

10.2单纯超越扩域

10.3代数相关性与无关性

10.4超越次数

10.5代数函数的微分法

第11章实域

11.1有序域

11.2实数的定义

11.3实函数的零点

11.4复数域

11.5实域的代数理论

11.6关于形式实域的存在定理

11.7平方和

索引

　　范德瓦尔登的《代数学》是现代数学的一部奠基之作，这部书不仅对提高数学家的学识修养有很大意义，对现代数学如扑拓学、泛函分析等以及一些其他科学领域也有重要影响。全书共分两卷，本书是第一卷，分成11章：前5章以最小的篇幅包括了为所有其余各章作准备的知识，即有关集合、群、环、域、向量空间和多项式的最基本的概念；其余各章主要讲述交换域的理论，包括Galois理论和实域。　　全书共分两卷，涉及的面很广，可以说概括了19201940年代数学的主要成就，也包括了1940年以后代数学的新进展，是代数学的经典著作之一。本书是第一卷，分成11章：前5章以最小的篇幅包括了为所有其余各章作准备的知识，即有关集合、群、环、域、向量空间和多项式的最基本的概念；其余各章主要讲述交换域的理论，包括Galois理论和实域。