泛函分析

第1章泛函分析基础

1.1Zorn引理

1.2度量空间

1.3赋范线性空间

1.4抽象积分

1.5Banach空间

1.6Hahn-Banach定理

1.7对偶空间和二次对偶空间

1.8泛函分析的基本定理

1.9Hilbert空间

1.10Riesz引理

1.11正交正规基

习题

参考文献

第2章局部凸空间

2.1拓扑空间

2.2凸集分离定理

2.3Banach空间上的弱拓扑

习题

参考文献

第3章算子理论和算子代数初步

3.1共轭算子

3.2谱

3.3正算子和极分解

3.4紧算子

3.5Banach代数

习题

参考文献

第4章Banach空间的微分学与拓扑度

4.1非线性算子微分

4.2隐函数定理

4.3泛函极值

4.4Brouwer度

4.5Leray-Schauder度

4.6不动点定理

习题

参考文献

　　本书共分为4章。第1章作为泛函分析基础，主要是对线性泛函分析基础理论的系统介绍，供教学中灵活掌握，其中抽象积分一节主要是为后面提供Banach空间例子作准备。本科学过泛函分析的同学可以不读或略读此章，没有学过泛函分析的同学可以详细阅读此章。第2章是局部凸空间，主要讲授Hahn-Banach定理的几何形式，即凸集分离定理以及Banach空间的弱拓扑。此章给出的凸集分离定理是比较一般的形式，对各个专业的需求应该是足够的。此外考虑到一些同学有可能没有学过拓扑学课程，在2.1节对本书所需的拓扑学知识作了简单的介绍。第3章是算子理论和算子代数初步，主要介绍了算子谱的基本理论、共轭算子、正规算子、紧算子以及自半算子函数演算等基本算子理论和Banach代数初步。第4章是Banach空间的微分学与拓扑度。主要介绍G-微分和F-微分、隐函数定理、泛函极值以及Brouwer度和Leray-Schauder度，最后给出了几个不动点定理。书中在每一章给出了许多相应的参考书目，供读者阅读。作为任何专业的学生，学过此教材的内容都可在此基础上继续学习所需泛函分析内容。　　本书根据作者近几年为大连理工大学数学系硕士研究生所开泛函分析课程的讲义改编而成。全书共4章，包括泛函分析基础、局部凸空间、算子理论和算子代数初步、Banach空间的微分学与拓扑度。本书尽力以一个适当的基础知识为起点，在整体内容上留给教师授课更多的自主空间，留给学生学习更多的思考空间。书中每章都给出了相应的参考书目供读者阅读，并精心选配了大量习题作为练习和正文的补充。　　本书适合普通高等院校数学系各专业研究生使用。也可作为数学系本科生高年级的泛函分析教学参考书。