现代数值计算方法

第1章数值计算的基本概念

1.1数值计算的研究对象和内容

1.2数值算法的基本概念

1.3误差的基本理论

1.3.1误差的来源

1.3.2绝对误差和相对误差

1.3.3近似数的有效数字

1.4数值算法设计的若干原则

习题1

第2章解线性方程组的迭代法

2.1迭代法的一般理论

2.1.1向量范数和矩阵范数

2.1.2迭代格式的构造

2.1.3迭代的收敛性

2.2雅可比迭代法

2.2.1迭代公式及其通用程序

2.2.2收敛性分析

2.3高斯-赛德尔迭代法

2.3.1迭代公式及其通用程序

2.3.2收敛性分析

2.4逐次超松弛迭代法

2.4.1迭代公式及其通用程序

2.4.2收敛性分析

习题2

第3章解线性方程组的直接法

3.1顺序Gauss消去法及其程序实现

3.2列主元Gauss消去法及程序实现

3.3解三对角方程组的追赶法

3.4LU分解法

3.4.1算法原理及其程序实现

3.4.2LU分解与Gauss消去法的关系

3.5解对称正定方程组的cholesky分解法

3.6舍入误差对解的影响

习题3

第4章插值法与最小二乘拟合

4.1多项式插值

4.1.1插值多项式的概念

4.1.2插值多项式的截断误差

4.1.3拉格朗日插值及其通用程序

4.1.4Hermite插值

4.2牛顿插值法

4.2.1差商及其性质

4.2.2牛顿插值公式

4.3样条插值法

4.3.1高阶插值的Runge现象

4.3.2分段插值

4.3.3三阶样条插值及其通用程序

4.4最小二乘拟合

4.4.1最小二乘法

4.4.2法方程组

4.4.3正交最小二乘拟合

4.4.4多项式拟合的通用程序

习题4

第5章数值积分和数值微分

5.1插值型求积公式

5.2几个常用的求积公式

5.2.1梯形公式及其误差

5.2.2辛普森公式及其误差

5.2.3科茨公式及其误差

5.3复化求积公式

5.3.1复化梯形公式及通用程序

5.3.2复化辛普森公式及通用程序

5.4龙贝格求积公式

5.4.1算法推导

5.4.2通用程序

5.5高斯型求积公式

5.5.1算法原理

5.5.2通用程序

5.6数值微分法

5.6.1差商法

5.6.2插值型求导公式

习题5

第6章常微分方程的数值解法

6.1欧拉方法及其改进

6.1.1欧拉格式和隐式欧拉格式

6.1.2欧拉格式的改进

6.1.3改进欧拉格式通用程序

6.2龙格-库塔格式

6.2.1龙格-库塔法的基本思想

6.2.2龙格-库塔格式

6.2.3龙格-库塔法的通用程序

6.3收敛性与稳定性

6.3.1收敛性分析

6.3.2绝对稳定性

6.4Adams格式

6.4.1Adams格式推导

6.4.2四阶Adams格式通用程序

6.5一阶微分方程组和高阶微分方程

6.5.1一阶常微分方程组

6.5.2高阶常微分方程

习题6

第7章非线性方程迭代解法

7.1根的搜索与二分法

7.1.1隔根区间

7.1.2二分法及其程序实现

7.1.3二分法的收敛性分析

7.2简单迭代法及其加速技巧

7.2.1迭代法的基本思想

7.2.2收敛性和误差分析

7.2.3迭代法加速技巧

7.3牛顿型方法

7.3.1牛顿法的基本思想与算法

7.3.2牛顿法的收敛速度

7.3.3阻尼牛顿法

7.3.4离散牛顿法

习题7

第8章矩阵特征值问题的计算

8.1幂法和反幂法

8.1.1幂法及其通用程序

8.1.2幂法的加速技术

8.1.3反幂法及其通用程序

8.2Jacobi方法

8.2.1实对称矩阵的旋转正交相似变换

8.2.2Jacobi方法

8.2.3Jacobi方法的收敛性

8.3QR方法

8.3.1Householder变换

8.3.2化一般矩阵为拟上三角矩阵

8.3.3矩阵的正交三角分解

8.3.4基本QR方法及其通用程序

习题8

附录一数值实验

A.1数值实验报告的格式

A.2数值实验

附录二MATLAB软件入门

B.1MATLAB数值处理简介

B.1.1向量及其运算

B.1.2矩阵及其运算

B.2MATLAB程序设计入门

B.2.1运算符和操作符

B.2.2M文件简介

B.2.3流程控制语句

B.3MATLAB绘图功能简介

B.3.1二维图形函数

B.3.2绘图辅助函数

B.3.3多窗口绘图函数

B.3.4三维图形函数

参考文献

　　科学计算的兴起是20世纪最重要的科学进步之一．随着计算机和计算方法的飞速发展，科学计算已与科学理论和科学实验鼎立为现代科学的三大组成部分之一。本书共分为八章内容，主要讲述数值分析中重要最基础的理论与方法，例如：“解线性方程组的迭代法”“解线性方程组的直接法”“插值法与最小二乘拟合”等等。本书各章节的主要算法都给出了MATLAB通用程序。每章均有习题，对所学的内容进行巩固。书后编写了两个附录，附录一介绍了数值实验报告的格式和一些具体的数值实验题目及各个实验的目的要求；附录二简明扼要地介绍了数学软件MATLAB的入门知识和必要的程序设计和绘图等基本技能技巧。　　本书阐述了现代数值计算的基本理论和方法，包括数值计算的基本概念、解线性方程组的迭代法和直接法、插值法与最小二乘拟合、数值积分和数值微分、常微分方程的数值解法、非线性方程的迭代解法以及矩阵特征值问题的计算等。书中有丰富的例题、习题和上机实验题。本书既注重计算方法的实用性，又注意保持理论分析的严谨性，强调数值方法的思想和原理在计算机上的实现。选材恰当，系统性强，行文通俗流畅，具有较强的可读性。　　本书的建议学时为72学时（其中含上机实验12学时）。适合作为信息与计算科学、数学与应用数学、计算机科学与技术以及统计学等专业本科生数值分析课程的教材或教学参考书，也可以作为其它理工科专业及工科研究生的数值分析参考用书。