高等微积分教程

第1章 多元函数及其微分学

1.1 n维Euclid空间Rn

1.1.1 n维Euclid空间

1.1.2 n维Euclid空间中的开集与闭集

1.1.3 Rn中集合的连通性

1.1.4 Rn中的点列，点列的收敛性以及收敛点列的性质

1.1.5 Rn的进一步研究

习题1.1

1.2 n元函数与n元向量值函数

1.2.1 n元函数

1.2.2 Rn→Rm的向量值函数

习题1.2

1.3 多元函数（向量值函数）的极限与连续

1.3.1 向量值函数的极限

1.3.2 向量值函数的连续性

1.3.3 无穷小函数的阶

习题1.3

1.4 多元函数的全微分及偏导数

1.4.1 n元函数的全微分

1.4.2 偏导数、全微分的计算

1.4.3 方向导数、梯度

1.4.4 数量场的梯度

1.4.5 高阶偏导数

习题1.4

1.5 向量值函数

1.5.1 向量值函数的微分

1.5.2 可微复合向量值函数的微分

习题1.5

1.6 隐（向量值）函数、反（向量值）函数的存在性及其微分

习题1.6

1.7 曲面与曲线的表示法、切平面与切线

1.7.1 R3中的曲面

1.7.2 R3中的曲线

1.7.3 曲面的切平面和法线

1.7.4 空间曲线及其切线和法平面

习题1.7

1.8 Taylor公式

习题1.8

1.9 极值与条件极值

1.9.1 多元函数的极值

1.9.2 条件极值

习题1.9

第1章 总复习题

第2章 含参积分及广义含参积分

2.1 预备知识

2.1.1 多元函数的一致连续性

2.1.2 广义积分的一致收敛性

习题2.1

2.2 由含参积分所定义函数的微积分性质

习题2.2

2.3 广义含参积分

习题2.3

第2章 总复习题

第3章 重积分

3.1 矩形域上的二重积分

习题3.1

3.2 一般平面有界集合上的二重积分

习题3.2

3.3 二重积分的计算方法——累次积分法

3.3.1 矩形域上二重积分的计算

3.3.2 一般平面有界集上的二重积分计算——累次积分法

3.3.3 二重积分的变量代换法

3.3.4 二重积分在极坐标系下的累次积分法

习题3.3

3.4 三重积分

3.4.1 三重积分的可积性理论

3.4.2 三重积分的计算——累次积分法

3.4.3 三重积分的变量代换法

3.4.4 三重积分在柱坐标系下的累次积分

3.4.5 三重积分在球坐标系下的累次积分

习题3.4

3.5 重积分的应用

3.5.1 曲面的面积问题

3.5.2 物体的质心问题

3.5.3 转动惯量问题

3.5.4 引力问题

习题3.5

第3章 总复习题

第4章 曲线积分与曲面积分

4.1 曲线与曲面

4.1.1 R2或R3中的C(1)类光滑的正则曲线

4.1.2 R3中的C(1)类光滑的正则曲面

4.1.3 曲线与曲面的定向

习题4.1

4.2 第一类曲线积分

习题4.2

4.3 第一类曲面积分

习题4.3

4.4 第二类曲线积分

习题4.4

4.5 第二类曲面积分

4.5.1 第二类曲面积分的定义和性质

4.5.2 第二类曲面积分的计算

习题4.5

4.6 平面向量场、Green公式

4.6.1 Green 公式

4.6.2 平面第二类曲线积分与路径无关的条件，原函数

习题4.6

4.7 空间向量场、Gauss公式和Stokes公式

4.7.1 Gauss公式

4.7.2 Stokes公式、空间第二类曲线积分与路径

无关的条件

习题4.7

第4章 总复习题

第5章 常数项级数

5.1 无穷级数的收敛性

习题5.1

5.2 非负项级数的收敛性

习题5.2

5.3 任意项级数的收敛性

5.3.1 任意项级数的两种收敛性

5.3.2 交错项级数的收敛性

5.3.3 任意项级数的收敛性

5.3.4 无穷求和运算的结合律和交换律

习题5.3

5.4 无穷乘积

习题5.4

第5章 总复习题

第6章 函数项级数

6.1 函数项级数的收敛性

6.1.1 函数项级数的逐点收敛性

6.1.2 函数项级数的一致收敛性

习题6.1

6.2 一致收敛函数项级数和函数的性质

习题6.2

6.3 幂级数、函数的幂级数展开

6.3.1 幂级数的收敛性与一致收敛性

6.3.2 无穷可导函数的幂级数展开

习题6.3

第6章 总复习题

第7章 Fourier级数

7.1 形式Fourier级数

7.1.1 内积与内积空间

7.1.2 2π周期函数的形式Fourier级数

7.1.3 其他周期函数的形式Fourier级数

习题 7.1

7.2 Fourier级数的性质及收敛性

7.2.1 Fourier级数的性质

7.2.2 形式Fourier级数的逐点收敛性

7.2.3 形式Fourier级数的平方平均距离

7.2.4 形式Fourier级数的最优性

7.2.5 形式Fourier级数的平方平均逼近

习题7.2

第7章 总复习题

部分习题答案

索引

《高等微积分教程（下）：多元函数微积分与级数》是编者在多年的教学经验与教学研究的基础上编写而成的。教材中适当加强了微积分的基本理论，同时兼顾微积分的应用，使之有助于培养学生分析问题和解决问题的能力。书中还给出了习题答案或提示，以方便教师教学使用及学生自学。《高等微积分教程（下）：多元函数微积分与级数》分为上、下两册，此书是下册《多元函数微积分与级数》，由章纪民、闫浩、刘智新编著，内容包括多元函数及其微分学、含参积分及广义含参积分、重积分、曲线积分与曲面积分、常数项级数、函数项级数、Fourier级数。《高等微积分教程（下）：多元函数微积分与级数》可作为大学理工科非数学专业微积分课程的教材。

《高等微积分教程（下）：多元函数微积分与级数》与国外的微积分教材强调直观相比，兼顾了数学的理性思维的训练；与国内的微积分教材相比，适当地加强了内容与习题的难度，并考虑到理工科学生的背景，加强了应用方面的内容。