微积分与解析几何

致教师致学生第一部分第1章 数、函数与图形 1.1 引言1.2 数轴与坐标平面 毕达哥拉斯1.3 直线的斜率和方程1.4 圆与抛物线 笛卡儿和费马1.5 函数的概念1.6 函数的图形1.7 三角函数的引入：函数sinθ和cosθ 复习小结：定义、概念及方法 附加问题第2章 函数的导数 2.1 什么是微积分 切线问题2.2 如何计算切线的斜率2.3 导数的定义2.4 速度与变化率 牛顿和莱布尼茨2.5 极限的概念 两个三角函数的极限2.6 连续函数 中值定理和其他定理 复习小结：定义、概念及方法 附加问题第3章 导数的运算 3.1 多项式函数的导数3.2 函数积、商的求导法则3.3 复合函数求导和链式法则3.4 一些三角函数的导数3.5 隐函数和分数指数函数的求导3.6 高阶导数 复习小结：概念、公式及方法 附加问题第4章 导数的应用 4.1 递增函数与递减函数 最大值与最小值4.2 凹性与拐点4.3 最大值和最小值问题的应用4.4 更多最大/最小值问题 光的反射与折射4.5 复合函数的变化率4.6 牛顿法解方程4.7 (选学)经济学上的应用 边际分析法 复习小结：概念及方法 附加问题第5章 不定积分和微分方程 5.1 引言5.2 微分与切线逼近5.3 不定积分 换元积分法5.4 微分方程 分离变量法5.5 重力作用下的运动 逃逸速度和黑洞 复习小结：概念及方法 附加问题第6章 定积分 6.1 引言6.2 面积问题6.3 “∑”符号与某些特殊求和6.4 曲线下的面积 定积分 黎曼6.5 极限思想下的面积计算6.6 微积分基本定理6.7 定积分的性质 复习小结：概念及方法 附加问题 附录：希波克拉底拱形第7章 定积分的应用 7.1 引言：定积分的直观含义7.2 两条曲线之间的面积7.3 体积计算1：圆盘法7.4 体积计算2：圆柱壳法7.5 弧长7.6 旋转曲面的面积7.7 功和能7.8 流体静力学 复习小结：概念与方法 附加问题 附录：阿基米德与球体体积第二部分第8章 指数函数与对数函数 8.1 引言8.2 指数与对数的回顾8.3 数e和函数y=e^x8.4 自然对数和函数y=lnx 欧拉8.5 应用 人口增长和放射性衰变8.6 更多应用--控制人口增长 复习小结：概念及公式 附加问题第9章 三角函数 9.1 三角函数的回顾9.2 正弦和余弦函数的导数9.3 正弦和余弦函数的积分 蒲丰投针问题9.4 其他四个三角函数的导数9.5 反三角函数9.6 简谐运动：钟摆问题9.7 (选学) 双曲函数 复习小结：定义及公式 附加问题第10章 积分法 10.1 简介 基本公式10.2 换元法10.3 三角函数的积分10.4 三角换元法10.5 完全平方法10.6 部分分式法10.7 分部积分法10.8 综合法 处理复杂类型的积分策略10.9 数值积分 辛普森法则 复习小结：公式及方法 附加问题 附录1：悬链线或悬挂链曲线 附录2：沃利斯乘积：pi/2=2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7... 附录3：莱布尼茨如何发现公式：pi/4=1-1/3 1/5-1/7 ...第11章 积分的进一步应用 11.1 离散系统的质心11.2 形心11.3 帕普斯定理11.4 惯性矩 复习小结：定义及概念 附加问题第12章 不定式和反常积分 12.1 简介 中值定理的回顾12.2 "0/0"不定式：洛必达法则12.3 其他类型的不定式12.4 反常积分12.5 正态分布：高斯 复习小结：定义及概念 附加问题第13章 常数项无穷级数 13.1 什么是无穷级数13.2 收敛数列13.3 收敛和发散级数13.4 收敛级数的一般性质13.5 正项级数 比较判别法13.6 积分判别法 欧拉常数13.7 比值判别法和根值判别法13.8 交错级数的判别 复习小结：定义、概念及判别方法 附加问题 附录1：欧拉发现公式∑1/n^2=pi^2/6 附录2：更多关于无理数的问题：证明pi为无理数 附录3：关于级数∑1/Pn，其中Pn为素数第14章 幂级数 14.1 引言14.2 收敛区间14.3 幂级数的微分与积分14.4 泰勒级数和泰勒公式14.5 应用泰勒公式的计算14.6 微分方程的应用14.7 (选学)幂级数的运算14.8 (选学)复数和欧拉公式 复习小结：定义、公式及方法 附加问题 附录：伯努利数和欧拉的众多美妙的发现第三部分第15章 圆锥曲线 15.1 引言 圆锥截面15.2 重新审视圆与抛物线15.3 椭圆15.4 双曲线15.5 焦点－准线－偏心的定义15.6 (可选)二次方程 绕坐标轴旋转 复习小结：定义及性质 附加问题第16章 极坐标 16.1 极坐标系16.2 极坐标方程的更多图像16.3 圆、圆锥曲线和螺旋线的极坐标方程16.4 弧长和切线16.5 极坐标中的面积 复习小结：定义及公式 附加问题第17章 参数方程及平面内的向量17.1 曲线的参数方程17.2 摆线和其他类似曲线17.3 向量代数 单位向量i和j17.4 向量函数的导数 速度和加速度17.5 曲率和单位法向量17.6 加速度的切分量和法分量17.7 开普勒定理和牛顿的万有引力定律 复习小结：定义及公式 附加问题 附录1：最速降线问题的伯努利解法第18章 三维空间的向量与曲面 18.1 三维空间的坐标和向量18.2 两个向量的标量积18.3 两个向量的向量积18.4 直线和平面18.5 圆柱坐标和旋转曲面18.6 二次曲面18.7 圆柱坐标和球面坐标 复习小结：定义及方程第19章 偏导数 19.1 多元函数19.2 偏导数19.3 曲面的切平面19.4 增量和微分 基本引理19.5 方向导数和梯度19.6 偏导数的链式法则19.7 最大值和最小值问题19.8 条件极值 拉格朗日乘数法19.9（选学）拉普拉斯方程、热传导方程和波动方程 拉普拉斯和傅里叶19.10 (选学)隐函数 复习小结：定义及方法第20章 重积分 20.1 累次积分－体积20.2 二重积分和累次积分20.3 二重积分的物理应用20.4 极坐标下的二重积分20.5 三重积分20.6 圆柱坐标20.7 球面坐标 万有引力定律20.8 曲面面积 勒让德公式 复习小结：方法和公式 附录：欧拉公式∑1/n^2=pi^2/6的二重积分证明第21章 曲线积分和曲面积分 格林公式高斯公式和斯托克斯公式 21.1平面上的曲线积分21.2 与路径无关：保守场21.3 格林公式21.4 曲面积分和高斯公式21.5 斯托克斯公式21.6 麦克斯韦方程组 终极思考 复习小结：概念及定理附录A. 微积分定理A.1 实数系A.2 极限定理A.3 连续函数的一些延伸性质A.4 中值定理A.5 连续函数的积分A.6 微积分基本定理的另一种证明A.7 无长度的连续曲线A.8 e=limh→0(1 h)1/h 的存在性A.9 不可积函数A.10 反代换积分的有效性A.11 部分分式分解定理的证明A.12 拉贝和高斯的比率判别法A.13 绝对收敛和条件收敛A.14 狄利克雷判别法 狄利克雷A.15 幂级数的一致收敛A.16 幂级数的除法A.17 混合偏导数的相等性A.18 带积分符号的微分法A.19 基本引理的证明A.20 隐函数定理的证明A.21 重积分的变量代换 雅可比矩阵B. 回顾一些知识 B.1 二项式定理B.2 数学归纳法解答索引CHAPTER 1： Numbers， Functions， and Graphs1-1 Introduction1-2 The Real Line and Coordinate Plane： Pythagoras1-3 Slopes and Equations of Straight Lines1-4 Circles and Parabolas： Descartes and Fermat1-5 The Concept of a Function1-6 Graphs of Functions1-7 Introductory Trigonometry1-8 The Functions Sin O and Cos OCHAPTER 2： The Derivative of a Function2-0 What is Calculus ?2-1 The Problems of Tangents2-2 How to Calculate the Slope of the Tangent2-3 The Definition of the Derivative2-4 Velocity and Rates of Change： Newton and Leibriz2-5 The Concept of a Limit： Two Trigonometric Limits2-6 Continuous Functions： The Mean Value Theorem and Other TheoremCHAPTER 3： The Computation of Derivatives3-1 Derivatives of Polynomials3-2 The Product and Quotient Rules3-3 Composite Functions and the Chain Rule3-4 Some Trigonometric Derivatives3-5 Implicit Functions and Fractional Exponents3-6 Derivatives of Higher OrderCHAPTER 4： Applications of Derivatives4-1 Increasing and Decreasing Functions： Maxima and Minima4-2 Concavity and Points of Inflection4-3 Applied Maximum and Minimum Problems4-4 More Maximum-Minimum Problems4-5 Related Rates4-6 Newtons Method for Solving Equations4-7 Applications to Economics： Marginal AnalysisCHAPTER 5： Indefinite Integrals and Differential Equations5-1 Introduction5-2 Differentials and Tangent Line Approximations5-3 Indefinite Integrals： Integration by Substitution5-4 Differential Equations： Separation of Variables5-5 Motion Under Gravity： Escape Velocity and Black HolesCHAPTER 6： Definite Integrals6-1 Introduction6-2 The Problem of Areas6-3 The Sigma Notation and Certain Special Sums6-4 The Area Under a Curve： Definite Integrals6-5 The Computation of Areas as Limits6-6 The Fundamental Theorem of Calculus6-7 Properties of Definite IntegralsCHAPTER 7： Applications of Integration7-1 Introduction： The Intuitive Meaning of Integration7-2 The Area between Two Curves7-3 Volumes： The Disk Method7-4 Volumes： The Method of Cylindrical Shells7-5 Arc Length7-6 The Area of a Surface of Revolution7-7 Work and Energy7-8 Hydrostatic ForcePART IICHAPTER 8： Exponential and Logarithm Functions8-1 Introduction8-2 Review of Exponents and Logarithms8-3 The Number e and the Function y = e x8-4 The Natural Logarithm Function y = ln x8-5 ApplicationsPopulation Growth and Radioactive Decay8-6 More ApplicationsCHAPTER 9： Trigonometric Functions9-1 Review of Trigonometry9-2 The Derivatives of the Sine and Cosine9-3 The Integrals of the Sine and Cosine9-4 The Derivatives of the Other Four Functions9-5 The Inverse Trigonometric Functions9-6 Simple Harmonic Motion9-7 Hyperbolic FunctionsCHAPTER 10 ： Methods of Integration10-1 Introduction10-2 The Method of Substitution10-3 Certain Trigonometric Integrals10-4 Trigonometric Substitutions10-5 Completing the Square10-6 The Method of Partial Fractions10-7 Integration by Parts10-8 A Mixed Bag10-9 Numerical IntegrationCHAPTER 11： Further Applications of Integration11-1 The Center of Mass of a Discrete System11-2 Centroids11-3 The Theorems of Pappus11-4 Moment of InertiaCHAPTER 12： Indeterminate Forms and Improper Integrals12-1 Introduction. The Mean Value Theorem Revisited12-2 The Interminate Form 0/0. L'Hospital's Rule12-3 Other Interminate Forms12-4 Improper Integrals12-5 The Normal DistributionCHAPTER 13： Infinite Series of Constants13-1 What is an Infinite Series ?13-2 Convergent Sequences13-3 Convergent and Divergent Series13-4 General Properties of Convergent Series13-5 Series on Non-negative Terms： Comparison Tests13-6 The Integral Test13-7 The Ratio Test and Root Test13-8 The Alternating Series TestCHAPTER 14： Power Series14-1 Introduction14-2 The Interval of Convergence14-3 Differentiation and Integration of Power Series14-4 Taylor Series and Taylor's Formula14-5 Computations Using Taylor's Formula14-6 Applications to Differential Equations14. 7 (optional) Operations on Power Series14. 8 (optional) Complex Numbers and Euler's FormulaPART IIICHAPTER 15： Conic Sections15-1 Introduction15-2 Another Look at Circles and Parabolas15-3 Ellipses15-4 Hyperbolas15-5 The Focus-Directrix-Eccentricity Definitions15-6 (optional) Second Degree EquationsCHAPTER 16： Polar Coordinates16-1 The Polar Coordinate System16-2 More Graphs of Polar Equations16-3 Polar Equations of Circles， Conics， and Spirals16-4 Arc Length and Tangent Lines16-5 Areas in Polar CoordinatesCHAPTER 17： Parametric Equations17-1 Parametric Equations of Curves17-2 The Cycloid and Other Similar Curves17-3 Vector Algebra17-4 Derivatives of Vector Function17-5 Curvature and the Unit Normal Vector17-6 Tangential and Normal Components of Acceleration17-7 Kepler's Laws and Newton's Laws of GravitationCHAPTER 18： Vectors in Three-Dimensional Space18-1 Coordinates and Vectors in Three-Dimensional Space18-2 The Dot Product of Two Vectors18-3 The Cross Product of Two Vectors18-4 Lines and Planes18-5 Cylinders and Surfaces of Revolution18-6 Quadric Surfaces18-7 Cylindrical and Spherical CoordinatesCHAPTER 19： Partial Derivatives19-1 Functions of Several Variables19-2 Partial Derivatives19-3 The Tangent Plane to a Surface19-4 Increments and Differentials19-5 Directional Derivatives and the Gradient19-6 The Chain Rule for Partial Derivatives19-7 Maximum and Minimum Problems19-8 Constrained Maxima and Minima19-9 Laplace's Equation， the Heat Equation， and the Wave Equation19-10 (optional) Implicit FunctionsCHAPTER 20： Multiple Integrals20-1 Volumes as Iterated Integrals20-2 Double Integrals and Iterated Integrals20-3 Physical Applications of Double Integrals20-4 Double Integrals in Polar Coordinates20-5 Triple Integrals20-6 Cylindrical Coordinates20-7 Spherical Coordinates20-8 Areas of curved SurfacesCHAPTER 21： Line and Surface Integrals21-1 Green's Theorem， Gauss's Theorem， and Stokes' Theorem21-2 Line Integrals in the Plane21-3 Independence of Path21-4 Green's Theorem21-5 Surface Integrals and Gauss's Theorem21-6 Maxwell's Equations ： A Final ThoughtAppendicesA： The Theory of CalculusA-1 The Real Number SystemA-2 Theorems About LimitsA-3 Some Deeper Properties of Continuous FunctionsA-4 The Mean Value theoremA-5 The Integrability of Continuous FunctionsA-6 Another Proof of the Fundamental Theorem of CalculusA-7 Continuous Curves With No LengthA-8 The Existence of e = lim h-0 (1 h) 1/hA-9 Functions That Cannot Be IntegratedA-10 The Validity of Integration by Inverse SubstitutionA-11 Proof of the Partial fractions TheoremA-12 The Extended Ratio Tests of Raabe and GaussA-13 Absolute vs Conditional ConvergenceA-14 Dirichlet's TestA-15 Uniform Convergence for Power SeriesA-16 Division of Power SeriesA-17 The Equality of Mixed Partial DerivativesA-18 Differentiation Under the Integral SignA-19 A Proof of the Fundamental LemmaA-20 A Proof of the Implicit Function TheoremA-21 Change of Variables in Multiple IntegralsB： A Few Review TopicsB-1 The Binomial TheoremB-2 Mathematical Induction

本书长期作为麻省理工学院教材，为科学、工程或数学专业的学生特别设计了三学期的标准课程。本书为美国麻省理工学院教材，例子偏重实际，侧重于微积分的应用，同时补充了三角函数、极坐标等理论知识，使学生从高中到大学平稳过渡。书中穿插数学史与数学文化的相关内容同时附录中提供了大量的补充内容以及严格的理论证明，适合不同层次的学生按需要学习。附加问题生动有趣，多是相关内容的经典的结论。本书可作为高等院校理工科专业教材，也可作为相关科研、技术人员的参考书。【作者简介】乔治·西蒙斯(George F.Simmons) 博士毕业于耶鲁大学。他通常能用简练精妙的语言表达深刻的数学思想，他在科罗拉多学院任教的日子，以其鲜明的个性以及引入入胜的教学方式，赢得学生的喜爱。