从一元一次方程到伽罗瓦理论

第一部分 解三次和四次多项式方程的故事

第一章 一次和二次方程的求解

§1.1 一次方程的求解与数集的扩张

§1.2 二次方程的求解与根式可解

第二章 求解三次方程的故事

§2.1 波洛那的费尔洛

§2.2 菲俄与塔尔塔里亚

§2.3 卡丹与费拉里

第三章 三次方程和四次方程的根式求解

§3.1 三次方程的根式求解

§3.2 赫德方法的数学背景

§3.3 四次方程的根式求解

第二部分 向五次方程进军

第四章 有关方程的一些理论

§4.1 韦达与根和系数的关系

§4.2 牛顿与牛顿定理

§4.3 欧拉与复数

§4.4 1的根

第五章 范德蒙与他的“根的对称式表达”方法

§5.1 范德蒙与范德蒙方法

§5.2 用范德蒙方法解三次方程

第六章 拉格朗日与他的预解式方法

§6.1 拉格朗日与他的预解式

§6.2 用拉格朗日方法解三次方程

§6.3 用拉格朗日方法解四次方程

§6.4 n=5时的情况

第七章 高斯与代数基本定理

§7.1 高斯与代数基本定理

§7.2 分圆方程与它的根式求解

§7.3 开方运算的多值性与卡丹公式

第八章 鲁菲尼、阿贝尔与伽罗瓦

§8.1 被人遗忘的鲁菲尼

§8.2 死于贫穷的阿贝尔

§8.3 死于愚蠢的伽罗瓦

第三部分 一些数学基础

第九章 集合与映射

§9.1 集合论中的一些基本概念

§9.2 集合间的映射

§9.3 集合A中的变换

§9.4 关系、等价关系与分类

§9.5 整数集合Z与同余关系

§9.6 算术基本定理与欧拉函数□（n）

第十章 群论基础

§10.1 群的定义

§10.2 群与对称性

§10.3 对称群Sn

§10.4 子群与陪集

§10.5 正规子群与商群

§10.6 循环群与n次本原根

§10.7 单群

§10.8 群的同态映射与同构映射

第十一章 数与代数系

§11.1 自然数集N作为可换半群及其可数性

§11.2 整数集合Z与整环

§11.3 域与有理数域Q

§11.4 实数域R的不可数性

§11.5 复数域C与子域

第十二章 域上的向量空间

§12.1 向量空间的定义

§12.2 向量空间的一些基础理论

§12.3 数域作为向量空间

第十三章 域上的多项式

§13.1 一些基本事项

§13.2 多项式的可约性与艾森斯坦定理

§13.3 关于三次方程根的一些定理

第四部分 扩域理论

第十四章 有限扩域

§14.1 扩域作为向量空间

§14.2 维数公式

第十五章 代数数与超越数

§15.1 代数元与代数数

§15.2 代数数集A是可数的

§15.3 超越数的存在

§15.4 代数扩域

第十六章 单代数扩域

§16.1 最小多项式

§16.2 单代数扩域

§16.3 单代数扩域的性质

§16.4 添加2个代数元的情况

§16.5 有限个代数元的添加与单扩域

§16.6 代数数集A是域

§16.7 m型纯扩域与根式塔

第五部分 尺规作图问题

第十七章 尺规作图概述

§17.1 尺规作图的出发点、操作公理与作图法则

§17.2 最大可作数域K

§17.3 Q的可作扩域

第十八章 尺规不可作问题

§18.1 存在不可作数

§18.2 立方倍积、三等分任意角与化圆为方

第十九章 正n边形的尺规作图

§19.1 把正n边形的可作性归结为一些简单的情况

§19.2 有关□边形的两个域列

§19.3 分圆多项式

§19.4 数□应满足的必要条件

§19.5 对具有p=2m+1形式的奇素数的讨论

§19.6 费马数

§19.7 作出正n边形的“充要条件”

第六部分 两类重要的群与一类重要的扩域

第二十章 对称群Sn

§20.1 循环与对换

§20.2 置换的奇偶性

§20.3 Sn中元素的对称类与其对换乘积表示

§20.4 交代群An的性质

§20.5 A5是单群

§20.6 可迁群

第二十一章 可解群

§21.1 可解群的定义

§21.2 可解群的性质

§21.3 n≥5时，Sn是不可解群

第二十二章 正规扩域

§22.1 多项式的基域与根域

§22.2 正规扩域

§22.3 正规扩域的性质

第七部分 伽罗瓦理论

第二十三章 从域得到群

§23.1 域E的自同构群

§23.2 E作为F扩域时的一类特殊自同构群

§23.3 正规扩域时的伽罗瓦群

§23.4 伽罗瓦群的一些重要性质

§23.5 域F上方程的伽罗瓦群

§23.6 域F上的一般的n次多项式方程

第二十四章 伽罗瓦理论的基本定理

§24.1 伽罗瓦对应

§24.2 伽罗瓦理论的基本定理

第八部分 伽罗瓦理论的应用

第二十五章 多项式方程的根式可解问题

§25.1 一些特殊的伽罗瓦群

§25.2 根式可解的数学含义

§25.3 根式扩域与根式可解的精确数学定义

§25.4 循环扩域与拉格朗日预解式

§25.5 多项式方程根式可解的必要条件

§25.6 2x5-10x+5=0不可根式求解

§25.7 多项式方程根式可解的充分条件

§25.8 用伽罗瓦理论解三次方程

第二十六章 三次实系数不可约方程有3个实根时的“不可简化情况”

§26.1 从判别式看根的情况

§26.2 不可简化情况

§26.3 根域的表达

§26.4 xp-a=0，a∈R型方程

§26.5 实根要通过复数得到

第二十七章 正n边形尺规作图的充分条件

§27.1 正咒边形尺规作图必要条件的回顾与充分条件的提出

§27.2 p群的一个定理

§27.3 正n边形尺规作图的充分条件

§27.4 作正17边形的高斯方法

§27.5 从伽罗瓦理论看正17边形的尺规作图

第二十八章 对称多项式的牛顿定理

§28.1 一个引理

§28.2 牛顿定理

附录

附录1 关于两个正整数最大公因数的一个关系式

附录2 多项式方程的重根问题

附录3 计算三次方程的判别式D

参考文献

《从一元一次方程到伽罗瓦理论》共二十八章，是讲解解多项式方程及数域上的伽罗瓦理论的一本入门读物。
《从一元一次方程到伽罗瓦理论》按历史发展从解一元一次方程讲起，详述了一元二次方程、一元三次方程，以及一元四次方程的各种解案，从而自然地引出了群、域，以及域的扩张等概念。由此，本书在讨论了集合论后，用近代方法详细阐明了对称群、可迁群、可解群、有限扩域、代数扩域、正规扩域以及伽罗瓦理论等，同时又引导读者一步步地去解决一系列重大的古典难题，如尺规作图问题、三次实系数不可约方程的“不可简化情况”，以及伽罗瓦的根式可解判别定理等。
本书可供高中学生、理工科大学生、大中学校数学教师，以及广大的爱好研读数学的读者，在学习解多项式方程、伽罗瓦理论初步，以及近世代数基础时阅读参考。

伽罗瓦理论是数学爱好者无法跨越的理论，“她”深刻而优美，却因为过于深奥，很难被全面地把握。
《从一元一次方程到伽罗瓦理论》试图从“解三次和四次多项式方程的故事”、“向五次方程进军”、“一些数学基础”、“扩域理论”、“尺规作图问题”、“两类重要的群与一类重要的扩域”、“伽罗瓦理论”及“伽罗瓦理论的应用”八个方面逐步展开，尽可能用通俗易懂的方式介绍伽罗瓦理论。
《从一元一次方程到伽罗瓦理论》在阐述整个伽罗瓦理论来龙去脉的基础上，试图引导读者自己去探究、解决一系列重大的古典数学难题，如“尺规作图”、“三次实系数不可约方程的‘不可简化情况’”以及“伽罗瓦的根式可解之判别定理”等。