数值方法

第1章 预备知识

1.1 微积分回顾

1.1.1 极限和连续性

1.1.2 可微函数

1.1.3 积分

1.1.4 级数

1.1.5 多项式求值

1.1.6 习题

1.2 二进制数

1.2.1 二进制数

1.2.2 序列与级数

1.2.3 二进制分数

1.2.4 二进制移位

1.2.5 科学计数法

1.2.6 机器数

1.2.7 计算机精度

1.2.8 计算机浮点数

1.2.9 习题

1.3 误差分析

1.3.1 截断误差

1.3.2 舍入误差

1.3.3 舍去和舍入

1.3.4 精度损失

1.3.5 O(hn)阶逼近

1.3.6 序列的收敛阶

1.3.7 误差传播

1.3.8 数据的不确定性

1.3.9 习题

1.3.10 算法与程序

第2章 非线性方程f(x)=0的解法

2.1 求解x=g(x)的迭代法

2.1.1 寻找不动点

2.1.2 不动点迭代的图形解释

2.1.3 绝对误差和相对误差考虑

2.1.4 习题

2.1.5 算法与程序

2.2 定位一个根的分类方法

2.2.1 波尔查诺二分法

2.2.2 试值法的收敛性

2.2.3 习题

2.2.4 算法与程序

2.3 初始近似值和收敛判定准则

2.3.1 检测收敛性

2.3.2 有问题的函数

2.3.3 习题

2.3.4 算法与程序

2.4 牛顿-拉夫森法和割线法

2.4.1 求根的斜率法

2.4.2 被零除错误

2.4.3 收敛速度

2.4.4 缺陷

2.4.5 割线法

2.4.6 加速收敛

2.4.7 习题

2.4.8 算法与程序

2.5 埃特金过程、斯蒂芬森法和米勒法（选读）

2.5.1 埃特金过程

2.5.2 米勒法

2.5.3 方法之间的比较

2.5.4 习题

2.5.5 算法与程序

第3章 线性方程组AX=B的数值解法

3.1 向量和矩阵简介

3.1.1 矩阵和二维数组

3.1.2 习题

3.2 向量和矩阵的性质

3.2.1 矩阵乘

3.2.2 特殊矩阵

3.2.3 非奇异矩阵的逆

3.2.4 行列式

3.2.5 平面旋转

3.2.6 MATLAB实现

3.2.7 习题

3.2.8 算法与程序

3.3 上三角线性方程组

3.3.1 习题

3.3.2 算法与程序

3.4 高斯消去法和选主元

3.4.1 选主元以避免a(p)pp=0

3.4.2 选主元以减少误差

3.4.3 病态情况

3.4.4 MATLAB实现

3.4.5 习题

3.4.6 算法与程序

3.5 三角分解法

3.5.1 线性方程组的解

3.5.2 三角分解法

3.5.3 计算复杂性

3.5.4 置换矩阵

3.5.5 扩展高斯消去过程

3.5.6 MATLAB实现

3.5.7 习题

3.5.8 算法与程序

3.6 求解线性方程组的迭代法

3.6.1 雅可比迭代

3.6.2 高斯-赛德尔迭代法

3.6.3 收敛性

3.6.4 习题

3.6.5 算法与程序

3.7 非线性方程组的迭代法:赛德尔法和牛顿法（选读)

3.7.1 理论

3.7.2 广义微分

3.7.3 接近不动点处的收敛性

3.7.4 赛德尔迭代

3.7.5 求解非线性方程组的牛顿法

3.7.6 牛顿法概要

3.7.7 MATLAB实现

3.7.8 习题

3.7.9 算法与程序

第4章 插值与多项式逼近

4.1 泰勒级数和函数计算

4.1.1 多项式计算方法

4.1.2 习题

4.1.3 算法与程序

4.2 插值介绍

4.2.1 习题

4.2.2 算法与程序

4.3 拉格朗日逼近

4.3.1 误差项和误差界

4.3.2 精度与O(hN+1)

4.3.3 MATLAB实现

4.3.4 习题

4.3.5 算法与程序

4.4 牛顿多项式

4.4.1 嵌套乘法

4.4.2 多项式逼近、节点和中心

4.4.3 习题

4.4.4 算法与程序

4.5 切比雪夫多项式(选读)

4.5.1 切比雪夫多项式性质

4.5.2 最小上界

4.5.3 等距节点

4.5.4 切比雪夫节点

4.5.5 龙格现象

4.5.6 区间变换

4.5.7 正交性

4.5.8 MATLAB实现

4.5.9 习题

4.5.10 算法与程序

4.6 帕德逼近

4.6.1 连分式

4.6.2 习题

4.6.3 算法与程序

第5章 曲线拟合

5.1 最小二乘拟合曲线

5.1.1 求最小二乘曲线

5.1.2 幂函数拟合y=AxM

5.1.3 习题

5.1.4 算法与程序

5.2 曲线拟合

5.2.1 y=CeAx的线性化方法

5.2.2 求解y=CeAx的非线性最小二乘法

5.2.3 数据线性化变换

5.2.4 线性最小二乘法

5.2.5 矩阵公式

5.2.6 多项式拟合

5.2.7 多项式摆动

5.2.8 习题

5.2.9 算法与程序

5.3 样条函数插值

5.3.1 分段线性插值

5.3.2 分段三次样条曲线

5.3.3 三次样条的存在性

5.3.4 构造三次样条

5.3.5 端点约束

5.3.6 三次样条曲线的适宜性

5.3.7 习题

5.3.8 算法与程序

5.4 傅里叶级数和三角多项式

5.4.1 三角多项式逼近

5.4.2 习题

5.4.3 算法与程序

5.5 贝塞尔曲线

5.5.1 伯恩斯坦多项式的性质

5.5.2 贝塞尔曲线的性质

5.5.3 习题

5.5.4 算法与程序

第6章 数值微分

6.1 导数的近似值

6.1.1 差商的极限

6.1.2 中心差分公式

6.1.3 误差分析和步长优化

6.1.4 理查森外推法

6.1.5 习题

6.1.6 算法与程序

6.2 数值差分公式

6.2.1 更多的中心差分公式

6.2.2 误差分析

6.2.3 拉格朗日多项式微分

6.2.4 牛顿多项式微分

6.2.5 习题

6.2.6 算法与程序

第7章 数值积分

7.1 积分简介

7.1.1 习题

7.2 组合梯形公式和辛普森公式

7.2.1 误差分析

7.2.2 习题

7.2.3 算法与程序

7.3 递归公式与龙贝格积分

7.3.1 龙贝格积分

7.3.2 习题

7.3.2 算法与程序

7.4 自适应积分

7.4.1 区间细分

7.4.2 精度测试

7.4.3 算法与程序

7.5 高斯-勒让德积分（选读）

7.5.1 习题

7.5.2 算法与程序

第8章 数值优化

8.1 单变量函数的极小值

8.1.1 分类搜索方法

8.1.2 利用导数求极小值

8.1.3 习题

8.1.4 算法与程序

8.2 内德-米德方法和鲍威尔方法

8.2.1 内德-米德方法

8.2.2 鲍威尔方法

8.2.3 习题

8.2.4 算法与程序

8.3 梯度和牛顿方法

8.3.1 最速下降法(梯度方法)

8.3.2 牛顿方法

8.3.3 习题

8.3.4 算法与程序

第9章 微分方程求解

9.1 微分方程导论

9.1.1 初值问题

9.1.2 几何解释

9.1.3 习题

9.2 欧拉方法

9.2.1 几何描述

9.2.2 步长与误差

9.2.3 习题

9.2.4 算法与程序

9.3 休恩方法

9.3.1 步长与误差

9.3.2 习题

9.3.3 算法与程序

9.4 泰勒级数法

9.4.1 习题

9.4.2 算法与程序

9.5 龙格-库塔方法

9.5.1 关于该方法的讨论

9.5.2 步长与误差

9.5.3 N=2的龙格-库塔方法

9.5.4 龙格-库塔-费尔伯格方法

9.5.5 习题

9.5.6 算法与程序

9.6 预报-校正方法

9.6.1 亚当斯-巴什福斯-莫尔顿方法

9.6.2 误差估计与校正

9.6.3 实际考虑

9.6.4 米尔恩-辛普森方法

9.6.5 误差估计与校正

9.6.6 正确的步长

9.6.7 习题

9.6.8 算法与程序

9.7 微分方程组

9.7.1 数值解

9.7.2 高阶微分方程

9.7.3 习题

9.7.4 算法与程序

9.8 边值问题

9.8.1 分解为两个初值问题:线性打靶法

9.8.2 习题

9.8.3 算法与程序

9.9 有限差分方法

9.9.1 习题

9.9.2 算法与程序

第10章 偏微分方程数值解

10.1 双曲型方程

10.1.1 波动方程

10.1.2 差分公式

10.1.3 初始值

10.1.4 达朗贝尔方法

10.1.5 给定的两个确定行

10.1.6 习题

10.1.7 算法与程序

10.2 抛物型方程

10.2.1 热传导方程

10.2.2 差分公式

10.2.3 克兰克-尼科尔森法

10.2.4 习题

10.2.5 算法与程序

10.3 椭圆型方程

10.3.1 拉普拉斯差分方程

10.3.2 建立线性方程组

10.3.3 导数边界条件

10.3.4 迭代方法

10.3.5 泊松方程和亥姆霍茨方程

10.3.6 改进

10.3.7 习题

10.3.8 算法与程序

第11章 特征值与特征向量

11.1 齐次方程组:特征值问题

11.1.1 背景

11.1.2 特征值

11.1.3 对角化

11.1.4 对称性的优势

11.1.5 特征值范围估计

11.1.6 方法综述

11.1.7 习题

11.2 幂方法

11.2.1 收敛速度

11.2.2 移位反幂法

11.2.3 习题

11.2.4 算法与程序

11.3 雅可比方法

11.3.1 平面旋转变换

11.3.2 相似和正交变换

11.3.3 雅可比变换序列

11.3.4 一般步骤

11.3.5 使dpq和dqp为零

11.3.6 一般步骤小结

11.3.7 修正矩阵的特征值

11.3.8 消去apq的策略

11.3.9 习题

11.3.10 算法与程序

11.4 对称矩阵的特征值

11.4.1 Householder法

11.4.2 Householder变换

11.4.3 三角形式归约

11.4.4 QR法

11.4.5 加速移位

11.4.6 习题

11.4.7 算法与程序

附录A MATLAB简介

部分习题答案

中英文术语对照

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