小平邦彦复分析

1Holomorphicfunctions1

1.1Holomorphicfunctions1

a.Thecomplexplane1

b.Functionsofacomplexvariable5

c.Holomorphicfunctions9

1.2Powerseries15

a.Serieswhosetermsarefunctions15

b.Powerseries16

1.3Integrals24

a.Curves25

b.Integrals30

c.Cauchysintegralformulaforcircles35

d.Powerseriesexpansions43

1.4Propertiesofholomorphicfunctions47

a.mth-orderderivatives47

b.Limitsofsequencesofholomorphicfimctions49

c.TheMeanValueTheoremandthemaximumprinciple51

d.Isolatedsingularities52

e.Entirefunctions58

2CauchysTheorem60

2.1Piecewisesmoothcurves60

a.SmoothJordancurves60

b.Boundariesofboundedclosedregions65

2.2Cellulardecomposition74

a.Calls74

b.Cellulardecomposition80

2.3CauchysTheorem101

a.CauchysTheorem101

b.Cauchysintegralformula104

c.Residues106

d.Evaluationofdefiniteintegrals109

2.4Differentiabilityandhomology113

3Conformalmappings117

3.1Conformalmappings117

3.2TheRiemannsphere132

a.TheRiemannsphere132

b.Holomorphicfunctionswithanisolatedsingularityat∞135

c.Localcoordinates137

d.Homogeneouscoordinates138

3.3Linearfractionaltransformations139

a.Linearfractionaltransformations139

b.Crossratio142

c.Elementaryconformalmappings148

4Analyticcontinuation153

4.1Analyticcontinuation153

a.Analyticcontinuation153

b.Analyticcontinuationbyexpansioninpowerseries157

4.2Analyticcontinuationalongcurves160

4.3Analyticcontinuationbyintegrals180

4.4CauchysTheorem(continued)190

5RiemannsMappingTheorem200

5.1RiemannsMappingTheorem200

5.2Correspondenceofboundaries214

5.3Theprincipleofreflection214

a.Theprincipleofreflection224

b.Modularfunctions233

c.PicardsTheorem241

d.TheSchwarz-Christoffelformula241

6Riemannsurfaces247

6.1Differentialforms247

a.Differentialforms247

b.Lineintegrals249

c.Harmonicforms257

d.Harmonicfunctions258

6.2Riemannsurfaces260

a.Hausdorffspaces260

b.DefinitionofRiemannsurfaces263

6.3DifferentialformsonaRiemannsurface268

a.Differentialforms268

b.Lineintegrals272

c.Locallyfiniteopencoverings275

d.Partitionofunity278

e.GreensTheorem284

6.4DirichletsPrinciple294

a.Innerproductandnorm294

b.DirichletsPrinciple299

c.Analyticfimctions314

7ThestructureofRiemannsurfaces319

7.1PlanarRiemannsurfaces319

a.PlanarRiemannsurfaces319

b.SimplyconnectedRiemannsurfaces329

c.Multiplyconnectedregions333

7.2CompactRiemannsurfaces340

a.Cohomologygroups340

b.StructureofcompactRiemannsurfaces344

c.Homologygroups360

8AnalyticfunctionsonaclosedRiemannsurface376

8.1Abeliandifferentialsofthefirstkind376

a.Harmonic1-formsofthefirstkind376

b.Abeliandifferentialofthefirstkind379

8.2Abeliandifferentialsofthesecondandthirdkind379

a.Meromorphicfunctions379

b.Abeliandifferentialsofthesecondandthirdkind380

8.3TheRiemann-RochTheorem381

a.ExistenceTheorem381

b.TheRiemann-RochTheorem382

8.4AbelsTheorem389

a.ExistenceTheorem389

b.AbelsTheorem391

Problems394

Index4011Holomorphicfunctions1

1.1Holomorphicfunctions1

a.Thecomplexplane1

b.Functionsofacomplexvariable5

c.Holomorphicfunctions9

1.2Powerseries15

a.Serieswhosetermsarefunctions15

b.Powerseries16

1.3Integrals24

a.Curves25

b.Integrals30

c.Cauchysintegralformulaforcircles35

d.Powerseriesexpansions43

1.4Propertiesofholomorphicfunctions47

a.mth-or

　　复分析(也称为复变函数论)是数学的重要分支，产生于18世纪，在19世纪获得了全面的发展，其研究领域在20世纪初得到了更进一步的拓广。它不仅在空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等自然科学领域有着广泛的应用，而且已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等其他数学分支中，对它们的发展影响极大。它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。本书出自菲尔兹奖和沃尔夫奖双奖得主，日本最伟大的数学家之一小平邦彦之手，图文并茂，强调理论的几何直觉。例题和习题(附有解答)都非常丰富，是一本经典的复分析著作，既可以作为课堂教材，也可以供研究参考。　　本书讲述了复变函数的经典理论。作者用易于理解的方式严密介绍基础理论，强调几何观点，避免了一些拓扑学难点。书中首先从拓扑上较简单的情形论证了柯西积分公式，并引出连续可微函数的基本性质。然后阐述共形映射、解析延拓、黎曼映射定理、黎曼面及其结构，以及闭黎曼面上的解析函数等。书中包含大量的图示和丰富的例子，并附有习题，可以帮助读者增强对课程的理解。　　本书可作为高等院校理工科专业复分析的入门教材，也可作为更高级学习研究的参考书。【作者简介】　　小平邦彦，20世纪日本最伟大的数学家之一，他是迄今为止为数不多的既获得菲尔兹奖(1954年)、又获得沃尔夫奖(1985年)的数学家。1957年被日本政府授予文化勋章。他是日本学士院院士、美国科学院和德国哥廷根科学院外籍院士。先后在美国普林斯顿高等研究中心、哈佛大学、约翰.霍普金斯大学、斯坦福大学、日本东京大学等任教授。他在调和积分理论、代数几何学和复解析几何学等诸多领域做出了卓越的贡献，著作有《微积分入门》(卷Ⅰ和卷Ⅱ)、《复分析》、《复流形理论》等。