组合数学

第1章 集合与函数

1.1 集合论基础

1.1.1 集合的基本概念

1.1.2 集合的代数运算及性质

1.1.3 集合的运算性质

1.2 函数、置换的循环分解

1.2.1 函数的基本概念和一般性质

1.2.2 置换的循环分解

1.3 集合的基数、对合映射不动点定理

1.4 集合上的二元关系

1.4.1 二元关系的基本概念

1.4.2 几种特殊的简单二元关系

1.4.3 等价关系、商集

1.5 容斥原理及应用

1.5.1 容斥原理

1.5.2 错位排列问题

1.5.3 容斥原理应用举例

1.6 Abel恒等式

1.7 习题

第2章 排列组合与多项式定理

2.1 排列组合及其性质

2.1.1 无重复排列和无限可重复排列

2.1.2 无重复组合及其性质、多项式反演定理

2.1.3 无重复有序分组、无重复无序分组

2.1.4 无限可重复分组、无限可重复组合、多项式定理

2.1.5 有限可重复组合与有限可重复排列

2.2 排列组合应用举例

2.3 Stirling公式

2.3.1 Wallis公式

2.3.2 Stirling公式

2.4 习题

第3章 整除性理论

3.1 整数的整除性

3.2 最大公约数和最小公倍数

3.3 连分数

3.3.1 实数的连分数表示

3.3.2 实数的近似分数

3.3.3 近似分数的既约性

3.3.4 近似分数的误差估计

3.3.5 整数线性组合ax—by=1的生成

3.4 素数、二平方定理、算术基本定理

3.5 习题

第4章 数论函数

4.1 [x]与{z}

4.2 积性函数

4.3 因子数r（n）与因子和S（n）

4.4 Euler函数φ（n）

4.5 Mobius函数和MObius反演定理

4.5.1 Mobius函数及其性质

4.5.2 Mobius反演定理

4.5.3 圆排列问题

4.6 习题

第5章 不定方程

5.1 二元一次不定方程

5.2 三元一次不定方程

5.3 勾股数定理

5.4 习题

第6章 同余式

6.1 同余式的定义与性质

6.2 完全剩余系和缩剩余系

6.3 一元一次同余方程

6.4 一元一次同余方程和方程组、中国剩余定理

6.5 一元多项式同余方程

6.6 习题

第7章 线性递归方程与母函数

7.1 递归方程

7.1.1 线性递归方程解的结构、降阶定理

7.1.2 常系数齐次线性递归方程的通解

7.1.3 常系数非齐次线性递归方程的求解

7.1.4 线性递归方程求解举例

7.2 Fibonacci数列

7.2.1 Fibonacci问题的求解

7.2.2 Fibonacci数列的性质

7.2.3 Fibonacci数列在优选法中的应用

7.3 母函数及其性质

7.3.1 母函数的定义

7.3.2 母函数的一般性质

7.4 错位排列和禁位排列

7.4.1 错位排列问题

7.4.2 棋盘多项式与禁位排列

7.5 正整数分拆和Ferrers图

7.5.1 正整数分拆

7.5.2 Ferrers图

7.6 Stirling数

7.6.1 第一类Stirling数

7.6.2 第二类Stirling数

7.6.3 Stirling反演定理

7.7 Catalan数

7.8 Bernoulli数

7.9 习题

第8章 鸽巢原理和Ramsey定理

8.1 鸽巢原理

8.2 无向完全图的着色问题

8.3 Ramsey定理

8.4 Ramsey数的性质

8.5 习题

第9章 Burnside引理和Polya定理

9.1 群的基本知识

9.1.1 半群、亚群、元素的阶

9.1.2 群、陪集、Lagrange定理

9.2 Burnside引理和Polya定理

9.2.1 Burnside引理

9.2.2 简化的P61ya定理

9.2.3 Polya基本定理

9.3习题

第10章 相异代表组和区组设计

10.1 相异代表组

10.2 公共代表组

10.3 完全区组设计与拉丁方

10.4 有限域基础

10.5 正交拉丁方

10.6 均衡不完全区组设计（BIBD）

10.6.1 BIBD的概念

10.6.2 三连组系

10.6.3 对称BIBD

10.6.4 由对称BIBD构造其他BIBD

10.7 Hadamard矩阵

10.8 习题

参考文献

本书是作者多年教学和研究成果的结晶，系统地研究了组合计数、组合设计以及相关数学理论。全书分为10章： 集合与函数，排列组合与多项式定理，整除性理论，数论函数，不定方程，同余式，线性递归方程与母函数，鸽巢原理和Ramsey（拉姆齐）定理，Burnside（伯恩赛德）引理和Pólya（波利亚）定理，相异代表组和区组设计。本书可以作为计算机科学与技术、数学、密码学和其他相关专业研究生和本科生的教材使用，也可作为广大师生和工程技术人员的自学用书或参考书。

本书内容具体安排分为10章：集合与函数，排列组合与多项式定理，整除性理论，数论函数，不定方程，同余式，线性递归方程与母函数，鸽巢原理和Ramsey（拉姆齐）定理，Burnside（伯恩赛德）引理和Polya（波利亚）定理，相异代表组和区组设计。每章又分为若干节和小节。这些章节，有些内容比较浅显，便于掌握；有些内容理论性较强（比如：P61ya基本定理的证明），工科学生阅读起来有一定的困难，可以暂时绕过。每章后面配有一定数量难度不一的习题，可供选做。
本书可以作为计算机科学与技术、数学、密码学及相关专业研究生和本科生的教材，也可作为其他各专业、不同层次师生和工程技术人员的自学用书或参考书。