代数几何和算术曲线

1 交换代数的若干预备知识

1.1 张量积

1.1.1 模的张量积

1.1.2 张量积的右正合性

1.1.3 代数的张量积

1.2 平坦性

1.2.1 左正合性：平坦性

1.2.2 平坦性的局部性质

1.2.3 忠实平坦性

1.3 形式完备化

1.3.1 逆向极限与完备化

1.3.2 Anin-Rees引理及其应用

1.3.3 Noether局部环情形

2 概型的一般性质

2.1 环的谱

2.1.1 Zariski拓扑

2.1.2 代数集

2.2 赋环拓扑空间

2.2.1 层

2.2.2 赋环拓扑空间

2.3 概型

2.3.1 概型的定义和例子

2.3.2 概型之间的态射

2.3.3 射影概型

2.3.4 Noether概型、代数簇

2.4 既约概型与整概型

2.4.1 既约概型

2.4.2 不可约分支

2.4.3 整概型

2.5 维数

2.5.1 概型的维数

2.5.2 Noether概型的情形

2.5.3 代数簇的维数

3 态射与基变换

3.1 基变换技巧

3.1.1 纤维积

3.1.2 基变换

3.2 对代数簇的应用

3.2.1 有限型态射

3.2.2 代数簇与基域扩张

3.2.3 取值于基域扩张的点

3.2.4 Frobunius

3.3 态射的若干整体性质

3.3.1 分离态射

3.3.2 正常态射

3.3.3 射影态射

4 一些局部性质

4.1 正规概型

4.1.1 正规概型与正则函数的扩张

4.1.2 正规化

4.2 正则概型

4.2.1 概型的切空间

4.2.2 正则概型与Jacobi准则

4.3 平坦态射与光滑态射

4.3.1 平坦态射

4.3.2 平展态射

4.3.3 光滑态射

4.4 Zariski主定理及其应用

5 凝聚层与Cech上同调

5.1 概型上的凝聚层

……

6 微分层

7 除子及其对曲线的应用

8 曲面的双有理几何

9 正则曲面

10 代数曲线的约化

参考文献

索引

《牛津大学研究生教材：代数几何和算术曲线》首先用概型语言介绍代数几何，然后通过对算术代数曲面和代数曲线约化理论的探讨，来介绍一般的理论。
　　《牛津大学研究生教材：代数几何和算术曲线》的雏形是分发给参加算术曲面理论研究生学习班的讲义。该讲义主要介绍算术曲线的几何基础，及其稳定约化理论。尽管这些理论在最近的学科发展中极具重要性，并在数论方面的影响不断增长。然而遗憾的是，现在还没有任何文献，以一种系统的方式，让学生或非本专业数学工作者能接受的深度，来介绍这些理论。
　　《牛津大学研究生教材：代数几何和算术曲线》的目的是把这些当今在算术几何中，经典且不可或缺的理论结合起来，从而易于让更多的人理解这些理论。