微积分学导论

总序

前言

第1章 实数与函数

1.1 实数

1.1.1 有理数与无理数

1.1.2 确界原理

1.1.3 不等式

1.2 函数

1.2.1 函数的定义

1.2.2 函数的运算

1.2.3 函数的表示方法

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第2章 极限理论

2.1 数列极限

2.1.1 数列极限的定义

2.1.2 数列极限的性质与四则运算法则

2.1.3 数列收敛的判别法则

2.1.4 自然对数底e

2.2 函数极限

2.2.1 函数极限的定义

2.2.2 函数极限的性质与四则运算

2.2.3 复合函数的极限

2.2.4 函数极限的判别法则

2.2.5 两个重要极限及其应用

2.3 无穷小量与无穷大量

2.3.1 无穷小量及其比较

2.3.2 无穷大量及其比较

2.4 函数的连续性

2.4.1 函数连续性的概念

2.4.2 连续函数的性质与四则运算

2.4.3 初等函数的连续性

2.4.4 有界闭区间上连续函数的性质

2.4.6 一致连续性

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第3章 单变量函数的微分学

3.1 函数的导数

3.1.1 导数的定义

3.1.2 函数的求导法则

3.1.3 函数的求导公式

3.1.4 高阶导数

3.2 函数的微分

3.2.1 微分的定义

3.2.2 微分运算的基本公式和法则

3.2.3 高阶微分

3.2.4 微分的应用——近似计算与误差估计

3.3 微分中值定理

3.3.1 罗尔定理

3.3.2 拉格朗日中值定理

3.3.3 柯西中值定理

3.4 未定式的极限与洛必达法则

3.4.1 洛必达法则

3.4.2 其他类型的未定式

3.5 泰勒展开

3.5.1 泰勒公式

3.5.2 几个初等函数的麦克劳林公式

3.5.3 泰勒公式的应用

3.6 导数的应用

3.6.1 函数的单调性与极值

3.6.2 函数的凹凸性与渐近线

3.6.3 函数图像的描绘

3.6.4 平面曲线的曲率

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第4章 单变量函数的积分学

4.1 不定积分的概念与性质

4.1.1 原函数与不定积分的概念

4.1.2 不定积分的基本公式与基本运算法则

4.2 不定积分的计算方法

4.2.1 不定积分的换元法

4.2.2 不定积分的分部积分法

4.2.3 几种特殊类型函数的积分

4.3 定积分的概念和可积函数

4.3.1 定积分的概念

4.3.2 可积性判别准则与可积函数类

4.4 定积分的基本性质与微积分基本定理

4.4.1 定积分的基本性质

4.4.2 微积分基本定理

4.5 定积分的计算方法

4.5.1 定积分的换元法

4.5.2 定积分的分部积分法

4.6 定积分的应用

4.6.1 定积分在几何上的应用举例

4.6.2 定积分在物理上的应用举例

4.7 广义积分

4.7.1 无穷区间上的积分

4.7.2 无界函数的积分

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第5章 微分方程

5.1 微分方程的基本概念

5.2 一阶微分方程

5.2.1 变量分离方程

5.2.2 齐次方程

5.2.3 可化为齐次方程的方程

5.2.4 一阶线性方程

5.2.5 伯努利方程

5.3 可降阶的二阶微分方程

5.3.1 不显含未知函数的二阶微分方程

5.3.2 不显含自变量的二阶微分方程

5.4 二阶线性微分方程解的结构

5.4.1 二阶齐次线性微分方程解的结构

5.4.2 二阶非齐次线性微分方程解的结构

5.5 阶常系数线性微分方程

5.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程

5.5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程

5.5.3 欧拉方程

5.6 微分方程的应用

5.6.1 贷款模型

5.6.2 人口增长模型

5.6.3 质点振动模型

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附录 实数的构造

参考答案

索引

华罗庚先生是中国科学技术大学应用数学和计算技术系的首任系主任，他亲自写作的《高等数学》在内容的取舍和写作方法以及叙述论证的风格等方面始终是陈祖墀等的《微积分学导论(上)》这本书写作过程中模仿的楷模。编者尽量做到核心知识突出，理论体系脉络清晰，简繁适当，论证简洁清楚，枝节问题一笔带过，例题针对性强，并且分析透彻，能起到举一反三的作用，应用问题紧贴知识主题且分析细致。在每一章之末，专门编写本章复习，首先，将本章内容作提纲挈领性的回顾，这就是华老提出的“由厚到薄”的学习过程；其次，提出一些与正文内容紧密相连的复习思考题，以利于学生对自己的学习掌握情况作检验，引导学生再“由薄到厚”。同时，本教材用许多开放式的思考题引导学生将数学与其他自然科学以及日常生活紧密地联系起来，增强其学习兴趣；最后，附有一定量的具有较强综合性的复习题，帮助学生将所学知识进行融会贯通，提高自己解决问题的能力，其中不乏近年来的考研试题。