近代应用数学基础

第1章集合与集合的运算结构

1.1集合及其运算

1.1.1集合

1.1.2集合的运算

1.1.3集合之间的映射

1.2集合的运算结构

1.2.1群、环、域、线性空间

1.2.2群论初步、几种重要的群

1.2.3子群、积群、商群

习题1

第2章线性空间与线性变换

2.1线性空间

2.1.1线性空间的实例

2.1.2线性空间的基

2.1.3线性空间的子空间、积空间、直和空间、商空间

2.1.4内积空间

2.1.5对偶空间

2.1.6线性空间的结构

2.2线性变换

2.2.1线性算子空间

2.2.2线性算子的共轭算子

2.2.3多重线性代数

习题2

第3章点集拓扑的基本知识

3.1度量空间、赋范线性空间

3.1.1度量空间

3.1.2赋范线性空间

3.2拓扑空间

3.2.1拓扑空间中的一些定义

3.2.2拓扑空间的初步分类

3.3拓扑空间上的连续映射

3.3.1拓扑空间之间的映射、映射的连续性

3.3.2拓扑空间的子空间、积空间、商空间

3.4拓扑空间的重要性质

3.4.1拓扑空间的分离性

3.4.2拓扑空间的连通性

3.4.3拓扑空间的紧性

3.4.4拓扑线性空间

习题3

第4章泛函分析基础

4.1度量空间理论

4.1.1度量空间的完备化

4.1.2度量空间中的紧性

4.1.3Banach空间的基

4.1.4Hilbert空间的直交系与直交展开

4.2算子理论

4.2.1Banach空间上的线性算子

4.2.2有界线性算子的谱理论

4.3线性泛函理论

4.3.1赋范线性空间上的线性泛函

4.3.2Hilbert 空间上的线性泛函

习题4

第5章分布理论

5.1Schwartz空间、Schwartz分布空间

5.1.1Schwartz空间

5.1.2Schwartz分布空间

5.1.3空间E(Rn)、D(Rn)及其分布空间

5.2Lp(R)(1≤p≤2)上的Fourier变换

5.2.1L1(R)上的Fourier变换

5.2.2L2(R)上的Fourier变换

5.2.3Lp(R)(1

5.3Schwartz分布的Fourier变换

5.3.1Schwartz函数的Fourier变换

5.3.2Schwartz分布的Fourier变换

5.3.3具紧致支集的Schwartz分布

5.3.4Schwartz分布的卷积与Fourier变换

5.4小波分析

5.4.1小波变换的引入

5.4.2连续小波变换

5.4.3离散小波变换

5.4.4小波变换应用概述

习题5

第6章流形上的微积分

6.1基本概念

6.1.1微分流形结构

6.1.2余切空间、切空间

6.1.3子流形

6.2外代数

6.2.1(r,s)型张量、(r,s)型张量空间

6.2.2张量代数

6.2.3Grassmann代数

6.3外微分

6.3.1张量丛、矢量丛

6.3.2外微分式的外微分

6.4外微分式的积分

6.4.1光滑流形的定向

6.4.2外微分式在定向光滑流形上的积分

6.4.3Stokes 公式

6.5Riemann 流形、数学科学与现代物理

6.5.1Riemann 流形

6.5.2连络

6.5.3Lie群与活动标架法

6.5.4数学科学与现代物理学

习题6

第7章补充知识

7.1变分方法

7.1.1变分与变分问题

7.1.2变分原理

7.1.3更一般的变分问题

7.2Banach空间中的几个重要定理

7.2.1StoneWeierstrass定理

7.2.2隐映射定理、逆映射定理

7.2.3不动点原理

7.3局部紧群上的Haar积分

习题7

参考文献

本书结合例题，系统地介绍集合论、近世代数、点集拓扑、泛函分析、分布理论、微分几何等近代应用数学的基本内容及其在自然科学研究中的应用。书中强调对近代数学概念的理解和对重要论证方法的思路分析，以帮助读者掌握数学推理的基本思维方法，学会把近代应用数学中的重要定理和方法应用到本专业的具体问题中去。本书可作为物理、天文、化学、地学、生物、计算机等专业学习相关课程的教材或参考书，也可供相关领域科研人员阅读参考。