数值计算及其工程应用

第1章绪论

1.1误差的基本概念

1.2向量范数与矩阵范数

1.3向后误差和条件数

1.4数值实验基础

习题

第2章线性方程组的直接法和迭代法

2.1Gauss消去法

2.1.1顺序Gauss消去法

2.1.2列选主元

2.1.3其他直接法

2.1.4Gauss消去法的误差分析

2.2经典迭代算法

2.2.1经典迭代格式

2.2.2经典迭代格式的收敛性

2.3共轭梯度法

2.4计算实例——线性方程组直接法和迭代法

习题

第3章非线性方程（组）的数值解法

3.1二分法

3.2不动点迭代

3.3Newton法

3.3.1算法介绍

3.3.2Newton法的二次收敛性

3.3.3Newton法的变形

3.4非线性方程组

3.4.1基本格式

3.4.2离散Newton法

3.4.3拟Newton法

3.5多项式求根

3.6计算实例——非线性方程(组)解法

习题

第4章矩阵特征值问题

4.1矩阵特征值的有关性质

4.1.1一般矩阵的扰动性质

4.1.2Hermite矩阵的性质

4.2基本正交变换

4.2.1Householder变换

4.2.2Givens变换

4.3幂法及其若干推广

4.4QR方法

4.4.1基本QR算法

4.4.2上Hessenberg化

4.4.3带原点位移的QR算法

4.4.4隐式双步位移

4.4.5对称QR算法

4.5Jacobi方法

4.6计算实例——矩阵特征值

习题

第5章函数插值与逼近

5.1插值的基本概念

5.1.1插值问题

5.1.2插值多项式的存在唯一性

5.1.3插值余项

5.2Lagrange插值

5.2.1Lagrange插值基函数

5.2.2Lagrange插值多项式

5.3Newton插值

5.3.1差商及性质

5.3.2Newton插值多项式

5.4Hermite插值

5.5分段低次插值

5.5.1高次插值的缺陷

5.5.2分段线性插值

5.5.3分段三次Hermite插值

5.6三次样条插值

5.6.1插值问题与插值条件

5.6.2三弯矩方程

5.7最佳逼近

5.7.1最佳平方逼近

5.7.2正交多项式

5.7.3用正交函数求最佳逼近

5.7.4三角函数逼近与快速Fourier变换

5.8曲线拟合的最小二乘法

5.8.1曲线拟合

5.8.2几种具体的拟合曲线类型

5.9计算实例——函数插值与逼近

习题

第6章数值积分

6.1代数精度与插值型求积公式

6.1.1代数精度

6.1.2插值型求积公式

6.2NewtonCotes求积公式

6.2.1NewtonCotes公式

6.2.2几个低阶求积公式

6.3复化求积

6.3.1复化梯形公式

6.3.2复化Simpson公式

6.4Romberg算法

6.4.1复化梯形公式逐次分半算法

6.4.2Richardson外推法

6.4.3Romberg积分法

6.5Gauss型求积公式

6.5.1Gauss型求积公式的定义

6.5.2Gauss型求积公式的建立

6.6二重积分的数值求积

6.7计算实例——数值积分

习题

第7章常微分方程初值问题的数值方法

7.1理论简介

7.2Euler方法和相容性

7.3RungeKutta法

7.4稳定性和收敛性

7.5线性多步法

7.5.1一般形式

7.5.2相容性、稳定性和收敛性

7.5.3绝对稳定性

7.6常微分方程组

7.7刚性问题

7.8计算实例——常微分方程数值解

习题

第8章偏微分方程数值方法简介

8.1Poisson方程

8.2热传导方程

8.3波动方程

8.4计算实例——Poisson方程数值解

参考文献

本教材主要是针对全国工程硕士专业学位研究生“数值分析”或“数值计算”课程的教学而编写的，特别针对各工程领域实际应用的特点，确定了教材的基本内容，其主导思想是： “了解背景、掌握概念、注重原理、淡化推导、强调实现、突出应用．”这也是该教材的主要特点，即介绍问题的工程背景，讲解基本概念和数学原理，介绍一般的数学理论和算法，淡化理论推导和纯粹的计算，重点讲授应用方法，借助于计算机和工具软实现算法，特别突出解决实际工程问题的实用性．本书可作为相关各工程领域的工程硕士专业学位研究生“数值分析”或“数值计算”课程的教材，也可作为工科各专业的大学本科生和研究生的“数值分析”或“数值计算”课程教材或参考教材，也可供从事相关研究工作的工程技术人员参考之用．

本书针对工程硕士的实际需要，在编写的过程中遵循重原理，轻推导，淡化理论，侧重实践的原则，安排了许多案例来培养和训练学生应用数学知识分析问题和解决问题的能力。