华罗庚文集

华罗庚文集数论卷Ⅰ·上部

再版序

序

俄文版原序

说明

第1章 三角和

§1.1 定理及基本引理的叙述

§1.2 由基本引理推出定理

§1.3 当l=1时基本引理的证明(Mordell)

§1.4 几条引理

§1.5 基本引理的证明

§1.6 推论

§1.7 有限的博里叶级数

§1.8

第2章 包含除数函数的和的估值

§2.1 引言

§2.2 van der Corput的引理

§2.3 关于相合式解数的若干引理

§2.4 定理的证明

§2.5

第3章 某些三角和的中值定理(Ⅰ)

§3.1

§3.2 关于不等式的若干引理

§3.3 定理的证明

§3.4 Weyl的引理

第4章 виноградоъ的中值定理及其推论

§4.1 定理的叙述

§4.2 引理

§4.3 定理的证明

§4.4 推论

§4.5

第5章 某些三角和的中值定理(Ⅱ)

§5.1

§5.2 定理Ak(即定理8)的注记

§5.3

§5.4

§5.5 定理的证明

§5.6 定理的证明(续)

§5.7 单和与平均值之间的关系

§5.8 三角和的估值

第6章 含有素数变数的三角和

§6.1

§6.2 若干必要的引理

§6.3 定理的证明

第7章 华林-哥德巴赫问题的解数的渐近式

§7.1

§7.2 若干引理

§7.3 Farey分割

§7.4 估计展在E上的积分的绝对值

§7.5 关于■(h,q)的引理

§7.6 估计展开在■(h,q)上的积分之数值

§7.7 证明定理所必需的引理

§7.8 定理的证明

§7.9 定理11的证明

第8章 奇异级数

§8.1

§8.2 关于三角和的引理

§8.3 关于同余式的引理

§8.4 奇异级数的正性质

§8.5 定理11与12的推理

第9章 华林-哥德巴赫问题进一步的研究

§9.1

§9.2 Davenport的引理

§9.3 定理13的证明

§9.4 附记

第10章素数未知数的不定方程组

§10.1

§10.2 证明定理16所需要的几条引理

§10.3 关于Tarry问题的结果

§10.4 定理16的叙述

§10.5 定理的证明

§10.6 附录

第11章 前章问题进一步的研究

§11.1

§11.2 正可解条件的研究

§11.3 奇异级数与同余可解条件

§11.4

§11.5

§11.6

第12章 其他的结果

§12.1

§12.2

§12.3 一个假设的陈述

§12.4 第10章及第11章的方法可以用到更普遍的问题

§12.5 一假设的叙述

§12.6

附录

华罗庚文集数论卷Ⅰ·下部

序

导引

第1章 初等方法

1.1 密率

1.2 Hilbert-Waring定理

1.3 筛法及Шнирелъман-Голъдбах定理

1.4 续

1.5 素数定理的初等证明

1.6 几何数论的初等方法

第2章 指数和的估计

2.1 Weyl方法

2.2 Van der Corput方法

2.3 Виноградов中值定理

2.4 中值定理的推论

2.5 群的特征

2.6 特征和

2.7 完整三角和

2.8 不完整和的估计方法

2.9 素数变数的指数和

第3章 素数分布及与之相关的Riemannζ-函数的性质

3.1 素数定理

3.2 Riemann的解析方法

3.3 Hadamard与von Mangoldt的贡献

3.4 有误差项的素数定理

3.5 素数定理误差项的不规则性

3.6 相继二素数之差距

3.7 素数在等差级数中的分布

3.8 其他素数问题

3.9 素因子有某种特殊性质的整数的分布

第4章 Waring问题

4.1 解析方法的引进

4.2 G(k)的上界

4.3 Waring问题的各种推广

4.4 g(k)的上界

4.5 齐次问题

第5章 Голъдбах问题

5.1 Виноградоъ定理

5.2 Виноградов定理的推广

5.3 关于偶数的Голъдбах问题的结果

5.4 Waring-Голъдбах问题

5.5 问题的变形

5.6 齐次问题

第6章 一致分布

6.1 定义与Weyl判别法则

6.2 误差项的估计

6.3 以素数为变数的函数的分布

6.4 {αx}的分布

6.5 不定不等式

第7章 其他数论函数

7.1 引言

7.2 ∑δa(n) n≤x与∑Tm(n)n≤x的表示式

7.3 一般区域中的整点问题

7.4 圆内整点问题与除数问题

7.5 估计指数和的方法

7.6 除数问题的推广

7.7 圆内整点问题的推广

7.8 无k方因子数的分布

7.9 一般方法

重要问题索引

参考书籍

参考资料

《华罗庚文集：数论卷1》分两部分，上部为堆垒素数论；下部为指数和的估计及其在数论中的应用。一部分是关于堆垒素数论方面苏联维诺格拉陀夫院士的研究方法和作者自己的研究方法的总结性论著。在这部分中给予维诺格拉陀夫院士的中值定理以显著的中心地位，并且改进了它。作者把华林问题与哥德巴赫问题的研究方法结合起来，并把华林问题一方面推广到每一加数是整系数多项式的情形，一方面限制变数仅取素数值。作者把塔锐问题也加上了变数只取素数值的限制，同时又讨论到更广的素未知数的不定方程组。
　　下部主要讨论了指数和的各种估计方法及其应用，特别讨论了这些方法对Waring问题及问题的应用。除此而外，也谈到了解析数论的其他一些问题与方法。这部分不仅综合了这几方面的结果与文献，更重要的是对其中绝大部分重要的结果都给出了较完备的提纲性的证明。
　　《华罗庚文集：数论卷1》适合数学及相关专业大学生、研究生、教师及科研人员阅读参考。

本书全书共分19个章节，主要收录了华罗庚教授关于数论的文集，具体内容包括三角和、包含除数函数的和的估值、某些三角和的中值定理、含有素数变数的三角和、华林-哥德巴赫问题的解数的渐近式等。该书可供各大专院校作为教材使用，也可供从事相关工作的人员作为参考用书使用。