微分几何

第一章空间曲线

§1.1预备知识

习题1.1

§1.2曲线的概念

1.2.1曲线的一般概念

1.2.2弧长与弧长参数

习题1.2

§1.3空间曲线的nenet公式

1.3.1曲线的密切平面

1.3.2曲线的基本三棱形

1.3.3曲线的曲率和挠率

1.3.4空间曲线在一点附近的形状

习题1.3

§1.4平面曲线的nenet公式

习题1.4

§1.5nenet公式的运用

1.5.1渐伸线与渐缩线

1.5.2球面曲线

1.5.3Bertrand曲线

1.5.4一般螺线

习题1.5

§1.6空间曲线论基本定理

习题1.6

第二章平面曲线的整体性质

§2.1平面闭曲线的等周不等式

习题2.1

§2.2平面曲线的旋转指标定理

习题2.2

§2.3卵形线

2.3.1凸曲线

2.3.2四顶点定理

2.3.3支持函数

习题2.3

第三章曲面的局部理论

§3.1曲面

习题3.1

§3.2曲面的第一基本形式

3.2.1第一基本形式

3.2.2曲面的面积

3.2.3曲面上方向的夹角，正交网

习题3.2

§3.3曲面的等距变换与保角变换

3.3.1等距变换

3.3.2保角变换

习题3.3

§3.4曲面的第二基本形式

3.4.1曲面的第二基本形式

3.4.2法曲率

3.4.3渐近曲线

习题3.4

§3.5主方向与主曲率Euler公式

3.5.1主方向与主曲率

3.5.2Euler公式

习题3.5

§3.6Gauss曲率

3.6.1Gauss曲率

3.6.2Gauss映射

3.6.3Gauss的绝妙定理

习题3.6

§3.7直纹面与可展曲面

3.7.1直纹面

3.7.2可展曲面

习题3.7

§3.8一些特殊曲面

3.8.1常Gauss曲率曲面

3.8.2极小曲面

习题3.8

§3.9曲面论基本定理

3.9.1曲面的基本方程

3.9.2曲面论基本定理

习题3.9

第四章测地线与Gauss-Bonnet公式

§4.1曲面上的测地线

4.1.1测地曲率

4.1.2测地线

4.1.3曲面上的半测地坐标网

习题4.1

§4.2Gauss-Bonnet公式

4.2.1平面闭曲线的旋转指标

4.2.2Gauss-Bonnet公式

习题4.2

§4.3整体曲面与Euler数

4.3.1整体曲面

4.3.2曲面的三角剖分与Euler示性数

习题4.3

§4.4整体的Gauss-Bonnet公式

4.4.1整体的Gauss-Bonnet公式

4.4.2Gauss映射的映射度

4.4.3卵形面

习题4.4

第五章曲面上的Levi-Civita联络

§5.1曲面上矢量的平行移动

5.1.1曲面上矢量的平行移动

5.1.2平行矢量场的角变差

习题5.1

§5.2曲面上的Levi-Civita联络

5.2.1曲面上的矢量场

5.2.2曲面上的矢量场与Euler数

5.2.3曲面上的Levi-Civita联络

习题5.2

§5.3外微分形式与活动标架法

5.3.1外微分形式

5.3.2活动标架法

习题5.3

§5.4Riemann几何简介

5.4.1Riemann几何简介

5.4.2一个重要的例子

习题5.4

附录1变分法

§1弧长变分

§2面积变分

附录2旋转角

附录3空间的等距变换

习题

名词索引

参考文献

　　这是一本微分几何的入门教材，用解析几何、微积分、线性代数等工具研究三维欧氏空间的曲线与曲面，希望有兴趣的读者进一步学习研究微分几何。全书共五章，第一章以Frenet公式及曲率，挠率为中心介绍经典的空间曲线理论。现代微分几何研究的中心是整体问题，或大范围问题，第二章介绍一些平面曲线的整体微分几何。第三章以第一，第二基本形式为主线介绍空间曲面的局部理论。第四章介绍曲面上的测地线与Gauss-Bonnet公式。第五章介绍曲面上矢量的平行移动与Levi-Civita联络。　　本书是普通高等教育“十一五”国家级规划教材，全书共分五章，第一章以Frenet公式为中心介绍空间曲线理论；第二章介绍一些平面曲线的整体微分几何；第三章以第一、第二基本形式为主线介绍空间曲面的局部理论；第四章介绍曲面上的测地线与Gauss-Bonnet公式；第五章介绍曲面上矢量的平行移动与Levi-Civita联络以及了解研究曲线、曲面几何的方法如何推广到Riemann流形上。另外，还在第四章和第五章中以Gauss-Bonnet公式为中心介绍了一些曲面的整体微分几何。书后附有变分法、旋转角和空间的等距变换，它们简要介绍教材中要用到的知识。　　本书纲目清楚，论证严谨，内容丰富，易于教学，可作为综合性大学和高等师范院校数学类专业的微分几何课程教材，也可供自学者选用。