格点量子色动力学导论

1 The path integral on the lattice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Hilbert space and propagation in Euclidean time . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Hilbert spaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Remarks on Hilbert spaces in particle physics . . . . . . . . . 3

1.1.3 Euclidean correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 The path integral for a quantum mechanical system. . . . . . . . . . 7

1.3 The path integral for a scalar field theory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 The Klein-Gordon field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2 Lattice regularization of the Klein-Gordon Hamiltonian 11

1.3.3 The Euclidean time transporter for the free case. . . . . . . 14

1.3.4 Treating the interaction term with the Trotter formula . 15

1.3.5 Path integral representation for the partition function. . 16

1.3.6 Including operators in the path integral . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 Quantization with the path integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.1 Different discretizations of the Euclidean action . . . . . . . 19

1 The path integral on the lattice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Hilbert space and propagation in Euclidean time . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Hilbert spaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Remarks on Hilbert spaces in particle physics . . . . . . . . . 3

1.1.3 Euclidean correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 The path integral for a quantum mechanical system. . . . . . . . . . 7

1.3 The path integral for a scalar field theory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 The Klein-Gordon field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2 Lattice regularization of the Klein-Gordon Hamiltonian 11

1.3.3 The Euclidean time transporter for the free case. . . . . . . 14

1.3.4 Treating the interaction term with the Trotter formula . 15

1.3.5 Path integral representation for the partition function. . 16

1.3.6 Including operators in the path integral . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 Quantization with the path integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.1 Different discretizations of the Euclidean action . . . . . . . 19

1.4.2 The path integral as a quantization prescription . . . . . . . 20

1.4.3 The relation to statistical mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 QCD on the lattice - a first look. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1 The QCD action in the continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1 Quark and gluon fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.2 The fermionic part of the QCD action . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.3 Gauge invariance of the fermion action . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.4 The gluon action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.5 Color components of the gauge field . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2 Naive discretization of fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.1 Discretization of free fermions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.2 Introduction of the gauge fields as link variables . . . . . . . 33

2.2.3 Relating the link variables to the continuum gauge fields 34

2.3 The Wilson gauge action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.1 Gauge-invariant objects built with link variables. . . . . . . 36

2.3.2 The gauge action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4 Formal expression for the QCD lattice path integral . . . . . . . . . 39

2.4.1 The QCD lattice path integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 Pure gauge theory on the lattice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1 Haar measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1.1 Gauge field measure and gauge invariance . . . . . . . . . . . . 44

3.1.2 Group integration measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.3 A few integrals for SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2 Gauge invariance and gauge fixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.1 Maximal trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.2 Other gauges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.3 Gauge invariance of observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3 Wilson and Polyakov loops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.1 Definition of the Wilson loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.2 Temporal gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3.3 Physical interpretation of the Wilson loop . . . . . . . . . . . . 55

3.3.4 Wilson line and the quark-antiquark pair. . . . . . . . . . . . . 57

3.3.5 Polyakov loop. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4 The static quark potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4.1 Strong coupling expansion of the Wilson loop . . . . . . . . . 59

3.4.2 The Coulomb part of the static quark potential . . . . . . . 62

3.4.3 Physical implications of the static QCD potential. . . . . . 63

3.5 Setting the scale with the static potential. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.5.1 Discussion of numerical data for the static potential . . . 64

3.5.2 The Sommer parameter and the lattice spacing. . . . . . . . 65

3.5.3 Renormalization group and the running coupling . . . . . . 67

3.5.4 The true continuum limit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.6 Lattice gauge theory with other gauge groups . . . . . . . . . . . . . . . 69

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4 Numerical simulation of pure gauge theory . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.1 The Monte Carlo method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.1.1 Simple sampling and importance sampling . . . . . . . . . . . . 74

4.1.2 Markov chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.1.3 Metropolis algorithm - general idea. . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.1.4 Metropolis algorithm for Wilson's gauge action. . . . . . . . 79

4.2 Implementation of Monte Carlo algorithms for SU(3) . . . . . . . . 80

4.2.1 Representation of the link variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2.2 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.2.3 Generating a candidate link for the Metropolis update . 83

4.2.4 A few remarks on random numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.3 More Monte Carlo algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.3.1 The heat bath algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.3.2 Overrelaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.4 Running the simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.4.1 Initialization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.4.2 Equilibration updates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.4.3 Evaluation of the observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.5 Analyzing the data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.5.1 Statistical analysis for uncorrelated data . . . . . . . . . . . . . 93

4.5.2 Autocorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.5.3 Techniques for smaller data sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.5.4 Some numerical exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5 Fermions on the lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.1 Fermi statistics and Grassmann numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.1.1 Some new notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.1.2 Fermi statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.1.3 Grassmann numbers and derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.1.4 Integrals over Grassmann numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.1.5 Gaussian integrals with Grassmann numbers . . . . . . . . . . 108

5.1.6 Wick's theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.2 Fermion doubling and Wilson's fermion action . . . . . . . . . . . . . . 110

5.2.1 The Dirac operator on the lattice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.2.2 The doubling problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.2.3 Wilson fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.3 Fermion lines and hopping expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.3.1 Hopping expansion of the quark propagator. . . . . . . . . . . 114

5.3.2 Hopping expansion for the fermion determinant . . . . . . . 117

5.4 Discrete symmetries of the Wilson action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.4.1 Charge conjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.4.2 Parity and Euclidean reflections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.4.3 γ 5 -hermiticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6 Hadron spectroscopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.1 Hadron interpolators and correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.1.1 Meson interpolators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.1.2 Meson correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.1.3 Interpolators and correlators for baryons . . . . . . . . . . . . . 129

6.1.4 Momentum projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.1.5 Final formula for hadron correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.1.6 The quenched approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.2 Strategy of the calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.2.1 The need for quark sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.2.2 Point source or extended source? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.2.3 Extended sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.2.4 Calculation of the quark propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.2.5 Exceptional configurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.2.6 Smoothing of gauge configurations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

6.3 Extracting hadron masses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.3.1 Effective mass curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.3.2 Fitting the correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.3.3 The calculation of excited states. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.4 Finalizing the results for the hadron masses . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.4.1 Discussion of some raw data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.4.2 Setting the scale and the quark mass parameters . . . . . . 151

6.4.3 Various extrapolations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.4.4 Some quenched results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7 Chiral symmetry on the lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

7.1 Chiral symmetry in continuum QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

7.1.1 Chiral symmetry for a single flavor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

7.1.2 Several flavors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

7.1.3 Spontaneous breaking of chiral symmetry. . . . . . . . . . . . . 160

7.2 Chiral symmetry and the lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

7.2.1 Wilson fermions and the Nielsen-Ninomiya theorem . . . 162

7.2.2 The Ginsparg-Wilson equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

7.2.3 Chiral symmetry on the lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

7.3 Consequences of the Ginsparg-Wilson equation . . . . . . . . . . . . . 166

7.3.1 Spectrum of the Dirac operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

7.3.2 Index theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

7.3.3 The axial anomaly. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

7.3.4 The chiral condensate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

7.3.5 The Banks-Casher relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

7.4 The overlap operator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.4.1 Definition of the overlap operator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.4.2 Locality properties of chiral Dirac operators . . . . . . . . . . 178

7.4.3 Numerical evaluation of the overlap operator. . . . . . . . . . 179

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

8 Dynamical fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

8.1 The many faces of the fermion determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

8.1.1 The fermion determinant as observable . . . . . . . . . . . . . . . 186

8.1.2 The fermion determinant as a weight factor . . . . . . . . . . . 186

8.1.3 Pseudofermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

8.1.4 Effective fermion action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

8.1.5 First steps toward updating with fermions . . . . . . . . . . . . 189

8.2 Hybrid Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

8.2.1 Molecular dynamics leapfrog evolution . . . . . . . . . . . . . . . 191

8.2.2 Completing with an accept-reject step . . . . . . . . . . . . . . . 194

8.2.3 Implementing HMC for gauge fields and fermions. . . . . . 195

8.3 Other algorithmic ideas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

8.3.1 The R-algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

8.3.2 Partial updates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

8.3.3 Polynomial and rational HMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

8.3.4 Multi-pseudofermions and UV-filtering . . . . . . . . . . . . . . . 201

8.3.5 Further developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

8.4 Other techniques using pseudofermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

8.5 The coupling-mass phase diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

8.5.1 Continuum limit and phase transitions . . . . . . . . . . . . . . . 205

8.5.2 The phase diagram for Wilson fermions . . . . . . . . . . . . . . 206

8.5.3 Ginsparg-Wilson fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

8.6 Full QCD calculations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

9 Symanzik improvement and RG actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

9.1 The Symanzik improvement program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

9.1.1 A toy example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

9.1.2 The framework for improving lattice QCD . . . . . . . . . . . . 215

9.1.3 Improvement of interpolators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

9.1.4 Determination of improvement coefficients . . . . . . . . . . . . 219

9.2 Lattice actions for free fermions from RG transformations . . . . 221

9.2.1 Integrating out the fields over hypercubes . . . . . . . . . . . . 222

9.2.2 The blocked lattice Dirac operator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

9.2.3 Properties of the blocked action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

9.3 Real space renormalization group for QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

9.3.1 Blocking full QCD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

9.3.2 The RG flow of the couplings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

9.3.3 Saddle point analysis of the RG equation . . . . . . . . . . . . . 232

9.3.4 Solving the RG equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

9.4 Mapping continuum symmetries onto the lattice . . . . . . . . . . . . . 236

9.4.1 The generating functional and its symmetries . . . . . . . . . 236

9.4.2 Identification of the corresponding lattice symmetries . . 238

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

10 More about lattice fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

10.1 Staggered fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

10.1.1 The staggered transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

10.1.2 Tastes of staggered fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

10.1.3 Developments and open questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

10.2 Domain wall fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

10.2.1 Formulation of lattice QCD with domain wall fermions . 250

10.2.2 The 5D theory and its equivalence to 4D chiral

fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

10.3 Twisted mass fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

10.3.1 The basic formulation of twisted mass QCD . . . . . . . . . . 254

10.3.2 The relation between twisted and conventional QCD . . . 256

10.3.3 O(a) improvement at maximal twist . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

10.4 Effective theories for heavy quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

10.4.1 The need for an effective theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

10.4.2 Lattice action for heavy quarks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

10.4.3 General framework and expansion coefficients . . . . . . . . . 263

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

11 Hadron structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

11.1 Low-energy parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

11.1.1 Operator definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

11.1.2 Ward identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

11.1.3 Naive currents and conserved currents on the lattice . . . 274

11.1.4 Low-energy parameters from correlation functions . . . . . 278

11.2 Renormalization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

11.2.1 Why do we need renormalization? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

11.2.2 Renormalization with the Rome-Southampton method . 281

11.3 Hadronic decays and scattering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

11.3.1 Threshold region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

11.3.2 Beyond the threshold region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

11.4 Matrix elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

11.4.1 Pion form factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

11.4.2 Weak matrix elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

11.4.3 OPE expansion and effective weak Hamiltonian . . . . . . . 295

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

12 Temperature and chemical potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

12.1 Introduction of temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

12.1.1 Analysis of pure gauge theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

12.1.2 Switching on dynamical fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

12.1.3 Properties of QCD in the deconfinement phase . . . . . . . . 310

12.2 Introduction of the chemical potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

12.2.1 The chemical potential on the lattice. . . . . . . . . . . . . . . . . 312

12.2.2 The QCD phase diagram in the (T, μ) space . . . . . . . . . . 317

12.3 Chemical potential: Monte Carlo techniques . . . . . . . . . . . . . . . . 318

12.3.1 Reweighting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

12.3.2 Series expansion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

12.3.3 Imaginary μ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

12.3.4 Canonical partition functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

A Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .327

A.1 The Lie groups SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

A.1.1 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

A.1.2 Lie algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

A.1.3 Generators for SU(2) and SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

A.1.4 Derivatives of group elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

A.2 Gamma matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

A.3 Fourier transformation on the lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

A.4 Wilson's formulation of lattice QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

A.5 A few formulas for matrix algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

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