数学世纪

译者序

前言

致谢

导论

第1章 基础

1.1 1920年代：集合

1.2 1940年代：结构

1.3 1960年代：范畴

1.4 1980年代：函数

第2章 纯粹数学

2.1 数学分析：勒贝格测度（1902）

2.2 代数：施泰尼茨对域的分类（1910）

2.3 拓扑学：布劳威尔的不动点定理（1910）

2.4 数论：盖尔芳德的超越数（1929）

2.5 逻辑：哥德尔的不完全性定理（1931）

2.6 变分法：道格拉斯的极小曲面（1931）

2.7 数学分析：施瓦兹的广义函数论（1945）

2.8 微分拓扑：米尔诺的怪异结构（1956）

2.9 模型论：鲁宾逊的超实数（1961）

2.10 集合论：科恩的独立性定理（1963）

2.11 奇点理论：托姆对突变的分类（1964）

2.12 代数：高林斯坦的有限群分类（1972）

2.13 拓扑学：瑟斯顿对三维曲面的分类（1982）

2.14 数论：怀尔斯证明费马大定理（1995）

2.15 离散几何：黑尔斯解决开普勒问题（1998）

第3章 应用数学

3.1 结晶学：比伯巴赫的对称群（1910）

3.2 张量演算：爱因斯坦的广义相对论（1915）

3.3 博弈论：冯·诺伊曼的极小极大定理（1928）

3.4 泛函分析：冯·诺伊曼对量子力学的公理化（1932）

3.5 概率论：柯尔莫哥洛夫的公理化（1933）

3.6 优化理论：丹齐格的单纯形法（1947）

3.7 一般均衡理论：阿罗一德布鲁存在性定理（1954）

3.8 形式语言理论：乔姆斯基的分类（1957）

3.9 动力系统理论：KAM定理（1962）

3.10 纽结理论：琼斯的不变量（1984）

第4章 数学与计算机

4.1 算法理论：图灵的刻画（1936）

4.2 人工智能：香农对国际象棋对策的分析（1950）

4.3 混沌理论：劳伦茨的奇怪吸引子（1963）

4.4 计算机辅助证明：阿佩尔与哈肯的四色定理（1976）

4.5 分形分析：芒德布罗集（1980）

第5章 未解问题

5.1 数论：完美数问题（公元前300年）

5.2 复分析：黎曼假设（1859）

5.3 代数拓扑：庞加莱猜想（1904）

5.4 复杂性理论：P=NP问题（1972）

结束语

参考文献

索引

译后记

17世纪初，两位大哲学家，英格兰的培根（F.Bacon）和法国的笛卡儿（R.Descartes）宣告近代科学的诞生。他们每位都描绘他们自己对未来的图景，而他们的图景是十分不同的。培根说：“一切都依赖于我们把眼睛紧盯在自然界的事实之上。”笛卡儿说：“我思故我在。”按照培根的想法，科学家应该周游世界来搜集事实，直到积累起来的事实揭示出大自然是如何运作的。然后科学家会从这些事实中归纳出自然界所服从的规律。而按照笛卡儿的想法，科学家应该呆在家里冥思苦想来演绎出自然界的规律。为了正确地演绎出自然界的规律，科学家只需要逻辑规则与上帝存在的指示。从培根与笛卡儿开辟道路以来，四百年间，科学就是同时遵循这两条道路快速进步。无论是培根的经验主义还是笛卡儿的教条主义本身都不具有阐释自然界秘密的能力，但两者结合在一起则已经取得惊人的成功。四百年间，英国科学家倾向于成为培根派，而法国科学家则倾向于成为笛卡儿派。