高等概率论基础及极限理论

第 0章概率论的历史简介 .1

第 1章测度空间与概率空间 4

1.1可测空间 .4

1.1.1集类.4

1.1.2生成集类、单调类定理 7

1.2测度与概率 .10

1.2.1定义及性质 10

1.2.2外测度、测度扩张定理 13

1.2.3欧氏空间上的 Lebesgue-Stieltjes测度.19

第 2章可测映射与随机变量 24

2.1定义、性质及构造 24

2.2几种收敛性 .30

2.3随机变量的分布、分布函数 34

第 3章积分与期望 36

3.1定义、性质及变换 36

3.2 Riemann积分与 Lebesgue积分43

3.3积分收敛定理 .45

3.4不定积分与符号测度 49

3.5 Lp空间56

第 4章乘积空间与 Fubini定理 .64

4.1乘积测度与 Fubini定理64

4.2由s有限核产生的测度与积分 .68

4.3无穷乘积空间上的概率测度 70

第 5章独立性、条件期望、一致可积性 75

5.1独立性, 0-1律.75

5.1.1事件与随机变量的独立性 75

5.1.2 Borel-Cantelli引理、 Borel 0-1律.77

5.1.3 Kolmogorov 0-1律81

5.1.4 Hewitt-Savage 0-1律.82

5.2条件期望与条件概率 83

5.2.1条件期望的定义 83

5.2.2条件期望的性质 86

5.2.3条件期望的计算、 Bayes法则89

5.2.4条件概率、条件独立性 91

5.2.5正则条件概率 93

5.3随机变量的一致可积性 .96

第 6章鞅论简介 101

6.1定义、性质、停止定理 .101

6.2不等式106

6.3鞅收敛定理、上鞅 Doob分解定理 .109

6.4连续鞅的定义及一点说明 .113

6.5鞅论在保险精算中的应用 .114

第 7章大数定律 117

7.1弱大数定律 .117

7.2强大数定律 .122

7.2.1一些准备 .122

7.2.2收敛定理 .124

7.3随机级数的收敛 129

7.4重对数律 .132

第 8章中心极限定理 .133

8.1测度的弱收敛、随机变量的依分布收敛 .133

8.2特征函数 .139

8.3分布函数与特征函数的收敛性 141

8.4中心极限定理 .146

8.5稳定分布 .149

8.6无穷可分分布 .151

8.7 Skorokhod构造与其他收敛性定理 .153

第 9章 Chebyshev不等式 155

9.1经典 Chebyshev不等式及多元推广 155

9.2 Hilbert空间值 Chebyshev不等式 156

9.3 Banach空间值 Chebyshev不等式156

第 10章著名问题介绍 .161

10.1 Gauss相关猜测 161

10.1.1猜测的具体内容及等价形式 .161

10.1.2早期历史 162

10.1.3近年来的主要进展 .163

10.2 Hunt假设(H)与 Getoor猜测165

10.2.1 Hunt假设(H)及相关位势原理 .165

10.2.2 Getoor猜测及已有成果 .167

10.2.3我们在 Getoor猜测方面的工作 .169

10.2.4待解决的一些问题 .173

10.3 热点猜测 .173

10.3.1猜测的具体内容 .173

10.3.2猜测的进展 175

索引178

参考文献 182

本书主要包含三个部分：测度论基础、概率论基础与概率极限理论. 测度论基础包括前四章：测度空间与概率空间；可测映射与随机变量；积分与期望；乘积空间与 Fubini定理.概率论基础包括两章：独立性、条件期望、一致可积性；鞅论简介. 概率极限理论包括两章：大数定律；中心极限定理. 最后，用一章介绍Chebyshev不等式的经典及最新成果，用一章介绍概率论领域中的三个著名问题：Gauss相关猜测；Hunt假设(H)与 Getoor猜测；热点猜测.本书适合作为研究生及高年级本科生相关课程的教材，也可供教师参考阅读.