数论算法

第 1 章 整数的可除性

1.1 整除的概念与带余除法

1.1.1 整除及其性质

1.1.2 素数

1.1.3 带余除法

1.2 整数的表示

1.3 最大公因数与辗转相除法

1.3.1 最大公因数

1.3.2 辗转相除法

1.3.3 求（a，b）的算法

1.3.4 （a，b）与a、b的关系

1.3.5 其他性质

1.4 整除的进一步性质及最小公倍数

1.4.1 整除和最大公因数的其他性质

1.4.2 最小公倍数及其性质

第 1 章  整数的可除性

1.1  整除的概念与带余除法

1.1.1  整除及其性质

1.1.2  素数

1.1.3  带余除法

1.2  整数的表示

1.3  最大公因数与辗转相除法

1.3.1  最大公因数

1.3.2  辗转相除法

1.3.3  求（a，b）的算法

1.3.4  （a，b）与a、b的关系

1.3.5  其他性质

1.4  整除的进一步性质及最小公倍数

1.4.1  整除和最大公因数的其他性质

1.4.2  最小公倍数及其性质

1.5  算术基本定理

习题1

第 2 章  数论函数

2.1  数论函数

2.2  函数?x?|、 |?x? 、 ［x］

2.2.1  下整数函数?x?|

2.2.2  上整数函数|?x?

2.2.3  四舍五入函数［x］

2.3  函数potpn

2.4  Euler函数φ(n)

2.5  墨比乌斯函数μ(n)

2.5.1  墨比乌斯函数

2.5.2  墨比乌斯反演公式

2.6  素数个数函数π(n)

2.7  数论函数的狄利克雷乘积

2.8  积性函数

2.8.1  积性函数的定义

2.8.2  积性函数的性质

习题2

第 3 章  同余及其运算

3.1  同余的概念及基本性质

3.2  剩余类及完全剩余系

3.2.1  剩余类和完全剩余系

3.2.2  剩余类的性质

3.3  既约剩余系

3.3.1  既约剩余系

3.3.2  整数a模m的逆

3.4  欧拉定理和费马小定理

3.4.1  欧拉定理

3.4.2  费马小定理

3.5  模重复平方计算法

3.5.1  算法原理

3.5.2  模重复平方计算法

3.6  一次不定方程

3.6.1  二元一次（不定）方程

3.6.2  求特解的方法

3.6.3  s元一次不定方程

3.6.4  （s元）一次不定方程组

3.7  矩阵的同余运算

3.7.1  矩阵及其线性运算

3.7.2  矩阵乘法

3.7.3  可逆矩阵

3.8  同余的应用

3.8.1  RSA公钥密码算法

3.8.2  背包公钥密码算法

3.8.3  希尔密码算法

3.8.4  随机数的Lehmer生成算法

3.8.5  随机数的BBS生成算法

习题3

第 4 章  同余方程

4.1  基本概念

4.2  一次同余方程

4.3  中国剩余定理

4.4  高次同余方程的解数及解法

4.4.1  解数

4.4.2  特殊情形的解法

4.4.3  一般情形的解法

4.5  素数模的同余方程

4.5.1  同余方程的化简

4.5.2  解数的判断

4.6  同余方程的应用

4.6.1  密钥分存

4.6.2  数据库加密方案

4.6.3  BBS流密码算法

习题4

第 5 章  二次同余方程与平方剩余

5.1  一般二次同余方程

5.1.1  二次同余方程的化简

5.1.2  平方剩余

5.2  模为奇素数的平方剩余与平方非剩余

5.2.1  平方剩余的判断条件

5.2.2  平方剩余的个数

5.3  勒让德符号

5.4  雅可比符号

5.5  模p平方根

5.6  模数为合数的情形

5.6.1  p为奇素数

5.6.2  p＝2

5.7  解同余方程小结

习题5

第 6 章  原根与离散对数

6.1  整数的阶及其性质

6.1.1  整数的阶和原根

6.1.2  阶的性质与计算方法

6.2  原根的存在性与计算方法

6.3  离散对数

6.4  离散对数的计算

6.4.1  Pohlid-Hellman算法

6.4.2  Shank算法

6.5  二项同余方程与n次剩余

6.6  原根与离散对数的应用

6.6.1  Diffie-Hellman密钥交换算法

6.6.2  ElGamal加密算法

6.6.3  改进的随机数生成算法

6.6.4  一种快速傅里叶变换算法

6.6.5  同余方程的求解

6.7  单向函数

习题6

第 7 章  连分数

7.1  连分数

7.1.1  连分数的概念

7.1.2  连分数性质与渐进连分数的计算

7.2  简单连分数

7.2.1  实数的简单连分数的生成

7.2.2  有理分数的连分数表示

7.3  循环连分数

习题7

第 8 章  素性测试和整数分解

8.1  素性测试的精确方法

8.2  伪素数与Fermat测试算法

8.3  Euler伪素数与Solovay-Stassen测试算法

8.3.1  Euler伪素数

8.3.2  Solovay-Stassen测试算法

8.4  强伪素数与Miller-Rabin测试算法

8.4.1  强伪素数

8.4.2  Miller-Rabin测试算法

8.5  正整数的分解

8.5.1  Fermat方法

8.5.2  Fermat方法的拓展

8.5.3  Legendre方法

8.5.4  Pollard方法

8.5.5  Kraitchik方法

8.5.6  B基数法——Brillhart-Morrison法

8.5.7  连分数法

8.5.8  二次筛法

8.5.9  p-1法

习题8

第9章  有限域

9.1  集合及其运算

9.1.1  集合

9.1.2  映射

9.1.3  代数运算

9.1.4  同构映射

9.2  群

9.3  环

9.3.1  环

9.3.2  多项式环

9.4  域

9.4.1  域的概念

9.4.2  域的特征和同构

9.4.3  有限域及其结构

9.4.4  有限域的构造

9.4.5  GF（2n）域上的计算

习题 9

附录A  素数表与最小正原根表(1200以内)

附录B  k的连分数

附录C  F2上的既约多项式(n≤10)

附录D  F2上的本原多项式

索引

参考文献

数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，有着强大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”，因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了”，所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
　　随着科学技术的发展，将经典理论与现代应用相结合已成为发展的一种趋势，故数论的应用领域也逐渐扩展开来，顺应发展趋势，推动数论应用，正是本书的编写目的和出发点。实际上，目前数论的有关理论和方法在计算机、通信等领域有着大量的应用，尤其在信息和网络安全、数字信号处理等方面应用更加广泛，而本书也主要从应用角度出发来研究数论问题，尤其是有关整数运算中实用的方法和具体算法。
　　本书共分9章，各章的主要内容概括如下：
　　第1章整数的可除性，主要介绍整除概念及与其相关的问题，如整除的定义及其性质，重点介绍了求最大公因数的有关算法。
　　第2章数论函数，给出了几种常用数论函数并讨论了其性质，同时介绍了函数的积性和函数的Dirichlet乘积等概念及性质。
　　第3章同余及其运算，介绍了整数按同余的分类、同余条件下幂函数的快速运算算法，给出了不定方程的解法、矩阵的同余运算和同余在信息安全和随机数生成方面的应用实例。
　　第4章同余方程，介绍了同余方程的概念，讨论了同余方程的解数及解法，给出了一次同余方程组和素数模的同余方程的求解方法及同余方程在秘密共享和数据加密方面的应用实例。
　　第5章二次同余方程与平方剩余，主要针对特殊的同余方程（即二次同余方程的求解）给出了问题的分类、化简和转换方法，重点介绍了利用勒让德符号和雅可比符号判断方程的可解性和模数为素数时的求解方法。
　　第6章原根与离散对数，从整数的阶与原根的定义出发，给出了阶的性质、原根及其判断方法与计算方法、 n次剩余以及利用原根解特殊高次方程的方法，最后给出了原根和离散对数在密钥管理、信息加密和随机数生成等方面的应用。
　　第7章连分数，介绍了连分数的概念和有关性质，重点介绍了用连分数逼近实数和有理分数的方法。
　　第8章素性测试和整数分解，主要针对素数的精确判断方法的复杂度问题，介绍了素数的概率测试，以及正整数的分解方法。
　　第9章有限域，主要讨论与数论相关的群、环、域的概念和性质，重点介绍了同余运算与群、环、域的关系，以及利用同余运算实现有限域的构造等问题。
　　本书具有如下几个特点：
　　(1) 紧密结合研究生教学实际和教学大纲，在内容编排上力求深入浅出，循序渐进；在讲解理论和原理的同时，给出了大量例题，并在讲解例题时，重视对解题思路的分析，有利于提高读者独立分析问题和解决问题的能力。
　　(2) 针对工科研究生教学要求，书中除了数论的理论成果外，还结合实际应用，搜集并整理了相关问题的实用算法，尽力做到与时俱进，重在实用。
　　(3) 注重教学思想方法的渗透和解题水平的提高。拾众家之所长，精选题目，使例题和习题均具有典型性和代表性。
　　(4) 本书在撰写时，参阅了国内外大量的相关资料，并凝结了作者十多年来从事研究生“数论算法”课程教学的体会，力求内容新颖，取舍得当。
　　本书是在西安电子科技大学校内教材“数论算法”的基础上，经过多年的试用，并吸取了老师和学生大量的修改意见，不断完善而成的。
　　西安电子科技大学出版社对本书的出版给予了热情的关怀和支持，尤其是出版社李惠萍老师对书稿严格把关，在内容的叙述方式上提出了很多有益的建议，使作者深受教益，在此表示感谢。
　　由于作者水平有限，书中不足之处在所难免，恳请读者批评指正，使本书得以不断改进和完善。