实分析与泛函分析

序言

第1章 点集的基本知识

1 有关集的基本概念和基本运算

2 可数集及其性质

3 半序集与zorn引理

附录 cantor树和│p（n）│＝2ω＝c的证明

习题

第2章 度量空间

1 度量空间的基本概念

2 度量空间的完备性

3 度量空间之间的映射

4 度量空间中的紧性

5 可分性及连续函数的多项式逼近

6 weierstrass逼近定理的推广

7 拓扑空间大意

附录 处处连续但处处不可导的函数的存在性

习题

第3章 测度和测度的扩张

1 直线上开集的构造，cantor集

2 由半开区间生成的环r及r上的测度

3 外测度及环r上测度的扩张

4 广义测度与复测度

习题

第4章 可测函数

1 可测函数的定义及基本性质

2 可测函数序列的收敛性

3 直线上可测函数的构造

4 可测变换与回归定理

习题

第5章 lebesgue积分

1 lebesgue积分的概念和基本性质

2 极限定理，积分的性质（续）

3 乘积测度和重积分

4 无限多个测度空间的乘积测度

习题

第6章 lp空间

l 凸函数与holder不等式

2 lp空间

习题

第7章 hilbert空间理论初步

1 内积的定义及其性质

2 正交性和投影定理

3 规范正交系，fourier展开

4 radon-nikodym定理和lebesgue分解定理

附录 三角函数系的完备性

习题

第8章 banach空间的几个基本定理

1 hahn-banach延拓定理

2 有界线性泛函族或有界线性算子族的共鸣定理

3 开映射定理、逆算子定理和闭图像定理

习题

第9章 共轭空间，共轭算子，弱收敛

1 共轭空间的若干性质

2 共轭算子与自共轭算子

3 弱收敛和*弱收敛

4 lp（μ）上有界线性泛函的表示定理

习题

第10章 紧算子理论简介

1 紧算子的基本性质

2 紧算子的谱、特征值和特征向量

习题

第11章 hilbert空间上有界线性算子的谱分解

1 有界线性算子的谱

2 谱测度和谱积分

3 自共轭算子，u算子和正规算子的谱分解

习题

第12章 遍历定理与保测变换的遍历性

1 由保测变换导出的算子

2 平均遍历定理

3 点态遍历定理

4 保测变换的遍历性

习题

第13章 局部紧空间上有界线性泛函的

1 局部紧空间上的连续函数

2 cc（x）上正线性泛函的riesz表示定理

3 c0（x）上有界线性泛函的riesz表示定理

习题

参考书目

索引

《实分析与泛函分析》共分为13章，内容包括实变泛函的基本内容，如度量空间、测度和测度的扩张、可测函数、Banach空间的几个基本定理，共轭空间与共轭算子，Hilbert空间上有界线性算子的谱分解，遍历定理与保测变换的遍历性等。另外还补充了一些对于扩大视野和进一步深入研究很有意义的内容，如应用Baire定理给出处处不可导的连续函数的证明、Weierstrass定理的推广、有限测度空间上的保测变换的Poincare回归定理以及一般测度空间上可测变换的回归性、复测度和无限个测度空间的乘积、保测变换的遍历性定理证明等。
《实分析与泛函分析》适合高校数学类专业本科学生、研究生，以及教师、科研人员阅读参考。