数学物理方程

第一章 经典解法

1 二阶线性偏微分方程及其定解问题

1.1 典型的二阶线性偏微分方程

1.2 定解问题

1.3 解的空间与定解问题的适定性

2 分离变量法

2.1 第一初边值问题

2.2 第二初边值问题

2.3 第三初边值问题

2.4 Poisson方程的边值问题

3 行波法

3.1 齐次波动方程Cauchy问题

3.2 非齐次波动方程Cauchy问题

4 其他解法

4.1 幂级数解法

4.2 相似解解法

习题

第二章 Fourier变换方法与广义函数初步

1 基本空间

1.1 连续函数空间

1.2 ξ（R），D（瓞）和Φ（R）空间

2速降函数空间上的Fourier变换方法

2.1 Φ（R）上Fourier变换的定义与性质

2.2 在速降函数空间中求解热传导方程

2.3 在缓增函数空间中求解热传导方程

3 LP空间与磨光算子

3.1 LP空间

3.2 磨光算子及其基本性质

3.3 LP函数的光滑逼近

3.4 变分学基本引理

4 广义函数

4.1 广义函数的定义

4.2 广义函数的判定

4.3 广义函数的运算

4.4 广义函数的极限

4.5 广义函数的磨光

4.6 局部可积函数的广义导数及其基本性质

4.7 广义函数的广义导数

5 广义函数空间上的Fourier变换方法

5.1 φ（R）上Fourier变换的定义与性质

5.2 φ（R）上的：Fourier变换方法

6 φ（RN）与φ（RN）上的Fourier变换

6.1 φ（RN）上Fourier变换的定义与性质

6.2 φ（RN）上Fourier变换的定义与性质

6.3 求解高维偏微分方程定解问题的Fourier变换方法

习题

第三章 L2理论

51H6lder空间和H1空间

1.1 Holder空间

1.2 H1空间

1.3 一维H1空间的性质

2 Poisson方程的L2理论

2.1 弱解的定义

2.2 与弱解相应的泛函的极值元

2.3 泛函极值元的存在性

2.4 弱解的存在唯一性

2.5 弱解的正则性

3 Laplace方程的基本解和Green函数及其应用

3.1 Laplace方程的基本解

3.2 Green函数及其基本性质

3.3 Green函数的存在性

3.4 Green函数法

4 热传导方程的L2理论和基本解理论

4.1 热传导方程的L2理论

4.2 热传导方程的基本解

习题

第四章 古典解的性质

1Poisson方程

1.1 弱极值原理

1.2 强极值原理

1.3 能量估计

2 热传导方程

2.1 极值原理

2.2 能量估计

3 弦振动方程

3.1 有界区间上的初边值问题

3.2 实数轴上的初值问题

3.3 半实数轴上的初边值问题

习题

参考文献

《数学物理方程》用数学分析和实变函数知识来讲解典型的数学物理方程理论。选材少而精，在介绍经典理论的同时，融入了偏微分方程的现代理论。内容安排由浅入深，循序渐进。全书共分为四章，重点论述偏微分方程中典型方程的求解方法、广义函数空间上的Fourier变换方法和古典解性质，此外对于偏微分方程的弱解理论也给予了初步介绍。每章还配置了许多富有启发性的习题。
《数学物理方程》可作为高等学校数学类专业以及物理学、金融数学等相关学科的本科生教材或教学参考书，也可供在实际工作中需要利用偏微分方程基础知识的科研人员参考。