数学思想10讲

前言

第1讲希尔伯特第三问题：代数与几何结合的典范

1.1科学的任务

1.2从勾股定理到面积剖分法

1.3希尔伯特第三问题

1.4 Dehn不变量方法

参考文献

第2讲整数中的若干定理

2.1欧拉二平方和分解

2.2拉格朗日四平方和定理

2.3高斯三平方和定理

2.4天衣无缝、难以置信

2.5一个成功的小数推断

参考文献

第3讲完美的数系宇宙：合成代数分类与Hurwitz定理

3.1数系的核心：康托尔不可数定理

3.2 Frobenius定理：三元数系不存在

3.3合成代数分类与Hurwitz定理

3.4希尔伯特第17问题：正定函数表为平方和

3.5几何连续性与极限完备性等价

参考文献

第4讲从圆锥曲线到射影几何

4.1圆锥曲线作为圆的中心射影

4.2射影变换的基本性质

4.3对偶原理与对偶定理

4.4特例原理的进一步应用：笛沙格定理

4.5调和分割与仅用直尺的作图

参考文献

第5讲处于交汇点的数学

5.1欧拉多面体定理：作为三角形内角和定理的推广

5.2基本群与同伦型

5.3单复形与同调群

5.4闭曲面分类定理

5.5几何、代数与分析的交汇点

参考文献

第6讲欧拉的数学直觉

6.1级数求和中的直观方法

6.2欧拉“圆函数”公式

6.3圆函数公式的应用：弱Dirichlet定理证明

6.4费马问题的欧拉方法

6.5欧拉方法与高斯方法的对比

6.6欧拉是我们所有人的老师，e是所有数的老师

参考文献

第7讲几何直观

7.1直觉本能：看出来的证明

7.2刘徽的直观构形

7.3空间维数的应用

7.4维度的区别：折纸实现的几何作图

7.5 e的无理性：几何途径

参考文献

第8讲模式直观在数学证明中的作用

8.1代数推理中的模式直观

8.2形式符号代数演算的认识论价值

8.3原始归纳与数字式证明

8.4直觉推理与演绎推理

8.5归纳思维与范畴扩充

参考文献

第9讲几何对称与代数对称

9.1几何图形的对称

9.2方程根的对称性

9.3三、四次方程求解

9.4高斯已经接近Galois群：17次单位根的代数表达

9.5不可解方程

参考文献

第10讲群与Goldbach猜想

10.1Goldbach猜想与群论的关系

10.2置换群与线性群中的单位根

10.3等价性定理

10.4晶体约束

10.5 Morley定理的群论证法

参考文献

《数学思想10讲》由张广祥编写，内容丰富翔实，可以作为大学数学专业选修课教材，也可以作为数学教育方向的研究生和研究者的参考书，还适合对数学有兴趣的中学生和数学爱好者阅读。本书通过近代数学史上一系列重大问题的解决，通过对于具有历史地位的数学家思想方法的分析，力图于解决大学数学教育中存在的两个重要问题：第一、大学数学专业学生在学习了数学各学科分支内容之后，如何了解和认识不同学科分支之间的密切关系。第二、了解高等数学与初等数学之间如何建立密切关联。我们还通过大量的实例分析，说明模式直观是数学推理和数学发现的最重要途径。本书以专题讲座的形式帮助学生了解现代数学各分支之间的融合，建立大数学观。