考研数学真题王

命题分析与复习指南

一、考试简价 Ⅰ

二、命题趋势 Ⅰ

三、考点分析与点拔 Ⅰ

四、解题技巧 Ⅵ

五、本书导读 Ⅶ

六、真题解析中的考点知识链接 Ⅶ

上篇 考点知识归纳及真题透析

第一部分 高等数学

第1章 函数、极限、连续 1

考情分析 1

大纲考点串讲与归纳 2

一、函数 2

二、极限 4

三、穷小量与穷大量 5

四、连续 6

历年真题分类详解与演练 8

题型一 对函数性质的判定 8

题型二 数列的极限 9

题型三 函数的极限 11

题型四 极限的逆问题 14

题型五 穷小量的比较 16

第2章 一元函数微分学 19

考情分析 19

大纲考点串讲与归纳 20

一、导数和微分的概念 20

二、函数可导或可微的条件 21

三、导数的几何意义与物理意义 21

四、导数的计算 21

五、微分中值定理 23

六、洛必达法则 24

七、函数及其性态的研究 25

八、曲率、曲率半径、曲率圆 27

历年真题分类详解与演练 28

题型一 利用定义求导数 28

题型二 求各类函数的导数与微分 30

题型三 导数几何意义的应用 32

题型四 函数及其性态的研究 33

题型五 有关中值定理命题的证明 39

题型六 证明代数不等式 42

第3章 一元函数积分学 46

考情分析 46

大纲考点串讲与归纳 46

一、不定积分 46

二、定积分 50

三、反常积分 54

历年真题分类详解与演练 55

题型一 不同类型函数乘积的不定积分 55

题型二 积分值符号的确定或积分值大小的比较 56

题型三 定积分的计算 57

题型四 变限积分的讨论 60

题型五 定积分的应用 61

题型六 穷区间上反常积分的计算 66

第4章 向量代数和空间解析几何 67

考情分析 67

大纲考点串讲与归纳 67

一、向量代数 67

二、空间曲面与曲线 70

三、空间平面与直线 71

历年真题分类详解与演练 74

题型一 求平面、直线的方程 74

题型二 点、线、面的关系 75

题型三 求曲面的方程 75

第5章 多元函数微分学 77

考情分析 77

大纲考点串讲与归纳 78

一、多元函数的概念 78

二、二元函数的极限 78

三、二元函数的连续性 78

四、偏导数 79

五、全微分 80

六、复合函数求导法 80

七、隐函数求导法 81

八、梯度 81

九、方向导数 81

十、曲线的切线方程、法平面方程 82

十一、曲面的切平面方程、法线方程 82

十二、二元函数的二阶泰勒公式 82

十三、多元函数的极值 83

十四、多元函数的最大值、最小值及其简单应用 84

历年真题分类详解与演练 84

题型一 复合函数的偏导数与全微分 84

题型二 求隐函数的偏导数 87

题型三 求多个关系式确定的函数的偏导数和全微分 89

题型四 多元函数的极值 90

第6章 多元函数积分学 97

考情分析 97

大纲考点串讲与归纳 98

一、二重积分 98

二、三重积分 100

三、对弧长的曲线积分(第一类曲线积分) 104

四、对坐标的曲线积分(第二类曲线积分) 105

五、对面积的曲面积分(第一类曲面积分) 106

六、对坐标的曲面积分(第二类曲面积分) 107

七、旋度与散度 109

八、斯托克斯公式 109

历年真题分类详解与演练 109

题型一 交换积分次序 109

题型二 计算二重积分 112

题型三 利用球坐标计算 115

题型四 利用化简方法计算对弧长的曲线积分 117

题型五 计算对坐标的曲线积分 117

题型六 计算对面积的曲面积分 125

题型七 计算对坐标的曲面积分 130

题型八 多元函数积分的物理应用 135

第7章 穷级数 137

考情分析 137

大纲考点串讲与归纳 137

一、数项概念 137

二、幂级数 140

三、傅里叶级数 142

历年真题分类详解与演练 144

题型一 数项级数敛散性的判定 144

题型二 数项级数敛散性的证明 148

题型三 收敛半径、收敛区间、收敛域 149

题型四 求幂级数的和 152

题型五 将函数展开成幂级数 155

题型六 狄利克雷定理的应用 157

题型七 将函数展开成傅里叶级数 158

第8章 常微分方程 160

考情分析 160

大纲考点串讲与归纳 160

一、常微分方程的概念 160

二、一阶微分方程的类型及其解法 161

三、可降阶的高阶微分方程 161

四、线性微分方程的概念与解的结构定理 162

五、常系数齐次线性微分方程 162

六、二阶常系数非齐次线性微分方程 163

七、欧拉方程 163

历年真题分类详解与演练 163

题型一 求解一阶微分方程 163

题型二 可降阶的高阶微分方程 165

题型三 高阶线性微分方程 166

题型四 欧拉方程 171

题型五 微分方程的应用 171

第二部分 线性代数

第1章 行列式 174

考情分析 174

大纲考点串讲与归纳 174

一、行列式的概念与基本性质 174

二、行列式按行(列)的展开定理 176

三、几种特殊行列式的值 176

四、有关行列式的若干个重要公式 177

历年真题分类详解与演练 178

题型一 有段高阶行列式的几种计算方法 178

题型二 抽象行列式的计算 179

第2章 矩阵 182

考情分析 182

大纲考点串讲与归纳 183

一、矩阵的概念与线性运算 183

二、矩阵的其他运算 183

三、矩阵的秩 186

四、分块矩阵 186

五、矩阵的初等变换与初等矩阵 188

历年真题分类详解与演练 190

题型一 有关逆矩阵的运算与证明 190

题型二 矩阵方程 191

题型三 有关矩阵秩的命题 193

题型四 初等变换与初等矩阵 194

题型五 与伴随矩阵A* 有关的命题 196

题型六 分块矩阵 197

第3章 向量 199

考情分析 199

大纲考点串讲与归纳 199

一、n 维向量的概念及其运算 199

二、向量组的线性相关性 200

三、极大关组与向量组的秩 201

四、内积与施密特正交化 202

五、n 维向量空间 203

历年真题分类详解与演练 204

题型一 关于线性组合与线性表出的命题 204

题型二 关于向量组的线性相关性的命题 206

题型三 求向量组的秩与极大关组 210

题型四 n 维向量空间 211

第4章 线性方程组 213

考情分析 213

大纲考点串讲与归纳 213

一、线性方程组的4种表示形式 213

二、线性方程组有解的判别条件 214

三、齐次线性方程组的解的结构 215

四、非齐次线性方程组AX=b的解的结构 216

历年真题分类详解与演练 216

题型一 有关线性方程组的解概念、性质、判别条件 216

题型二 关于线性方程组的基础解系与通解 223

题型三 关于两个线性方程组的公共解与同解问题 231

第5章 矩阵的特征值和特征向量 234

考情分析 234

大纲考点串讲与归纳 234

一、特征值和特征向量 234

二、矩阵的相似 236

三、矩阵的相似对角化问题 236

四、实对称矩阵 237

历年真题分类详解与演练 238

题型一 求矩阵的特征值和特征向量 238

题型二 关于相似及相似对角化的问题 243

题型三 实对称矩阵 248

第6章 二次型 253

考情分析 253

大纲考点串讲与归纳 253

一、二次型及其表示法 253

二、二次型的标准形与规范形 254

三、正定二次型及其判定 256

历年真题分类详解与演练 256

题型一 二次型的基本概念与合同关系 256

题型二 化二次型为标准形与惯性定理 257

题型三 关于正定二次型 263

第三部分 概率论与数理统计

第1章 随机事件与概率 265

考情分析 265

大纲考点串讲与归纳 266

一、随机事件及其运算 266

二、概率及其基本性质 267

三、概型、条件概率与独立性 267

历年真题分类详解与演练 269

题型一 事件的关系、运算及等可能概型 269

题型二 概率的基本性质 270

题型三 关于条件概率的问题 271

题型四 关于事件独立性的问题 272

第2章 随机变量及其分布 274

考情分析 274

大纲考点串讲与归纳 274

一、随机变量与分布函数 274

二、离散型随机变量及常见分布 275

三、连续型随机变量及常见分布 277

四、随机变量函数的分布 279

历年真题分类详解与演练 279

题型一 常见分布 279

题型二 函数的分布 281

第3章 多维随机变量及其分布 284

考情分析 284

大纲考点串讲与归纳 285

一、多维随机变量 285

二、二维离散型随机变量 285

三、二维连续型随机变量 286

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