线性代数学习指导

目录

前言第 1章行列式 1

1.1重要结论及公式 1

1.1.1特殊行列式 1

1.1.2展开定理 2

1.1.3 Cramer法则 3

1.2概念点拨 3

1.2.1关于行列式的定义 3

1.2.2行列式与行列式的值有区别吗 4

1.2.3余子式、代数余子式与元素有关吗 4

1.3典型例题解析 5

1.3.1题型一：行列式的计算 5

1.3.2题型二：与行列式概念有关的问题 13

1.3.3题型三：关于余子式和代数余子式 13

1.3.4题型四： Cramer法则及其应用 14

1.3.5题型五：杂题 16

1.4历年考研试题选解 17

1.5课后习题全解 20

1.6同步自测题 (一) 27

第 2章矩阵 30

2.1重要结论及公式 .31

2.1.1对称矩阵与反对称矩阵 31

2.1.2矩阵的基本运算 31

2.1.3可逆矩阵 32

2.1.4关于伴随矩阵的基本公式 .34

2.1.5矩阵方程的求解 34

2.1.6初等变换、初等矩阵及其关系 35

2.1.7矩阵的秩 35

2.1.8矩阵等价的充分必要条件 .36

2.1.9分块矩阵的初等变换 36 2.2概念点拨 37

2.2.1关于行列式与矩阵概念的区别及联系 37

2.2.2矩阵运算与行列式运算的比较 37

2.2.3两个非零矩阵相乘 ,结果一定不是零矩阵吗 37

2.2.4用初等变换法求逆阵 ,行列变换能同时进行吗 .37

2.2.5关于分块矩阵的转置 38

2.2.6关于矩阵方程的求解 38

2.3典型例题解析 38

2.3.1题型一：求方阵的幂 38

2.3.2题型二：关于方阵、伴随矩阵等的行列式及相关命题 39

2.3.3题型三：矩阵可逆的计算与证明 . 41

2.3.4题型四：求解矩阵方程 43

2.3.5题型五：关于初等变换与初等矩阵的问题 44

2.3.6题型六：矩阵的秩 44

2.4历年考研试题选解 45

2.5课后习题全解 48

2.6同步自测题 (二) 57第 3章线性方程组 60

3.1重要结论及公式 .61

3.1.1向量组线性相关、线性无关、线性表示和线性组合 61

3.1.2向量组的极大线性无关组、秩及等价 62

3.1.3线性方程组解的性质及判定 63

3.1.4线性方程组解的结构 63

3.2概念点拨 64

3.2.1向量组线性相关性的判别方法 64

3.2.2向量组等价与矩阵等价之间的关系 64

3.2.3向量组的极大线性无关组 .65

3.3典型例题解析 65

3.3.1题型一：向量组线性相关性的判定 65

3.3.2题型二：向量组的极大无关组与秩的求法及相关证明 67

3.3.3题型三：线性空间初步 (维数、基、向量的坐标、过渡矩阵 ) .69

3.3.4题型四：齐次和非齐次线性方程组的求解、基础解系问题 70

3.3.5题型五：两个方程组的同解及有公共解问题 73

3.4历年考研试题选解 75

3.5课后习题全解 88

3.6同步自测题 (三) 99第 4章矩阵的特征值与对角化 . 101

4.1重要结论及公式 102

4.1.1矩阵的特征值与特征向量的性质 102

4.1.2相似矩阵的性质 102

4.1.3矩阵相似于对角矩阵的条件 103

4.1.4实对称矩阵的特性 103

4.1.5正交矩阵的性质 103

4.1.6 Gram-Schmidt标准正交化方法 104

4.2概念点拨 .104

4.2.1关于矩阵的特征值与特征向量 104

4.2.2关于相似矩阵的性质 .104

4.2.3正交矩阵与可逆矩阵之间的关系 105

4.2.4用可逆阵与用正交阵化实对称阵为对角阵的不同 105

4.2.5矩阵的特征值是否都为实数 105

4.2.6属于矩阵的不同特征值的特征向量是否两两正交 105

4.3典型例题解析 105

4.3.1题型一 :求矩阵的特征值与特征向量 105

4.3.2题型二 : n阶矩阵能否相似对角化的判定及求解 109

4.3.3题型三 :用特征值和特征向量反求矩阵 111

4.3.4题型四 :实对称矩阵的对角化问题 .112

4.3.5题型五 :相似对角化的应用 114

4.3.6题型六 :杂题 115

4.4历年考研试题选解 116

4.5课后习题全解 122

4.6同步自测题 (四) 135第 5章二次型 138

5.1重要结论及公式 139

5.1.1二次型的矩阵及秩 139

5.1.2矩阵的合同 139

5.1.3化二次型为标准形 139

5.1.4正定二次型及其判定 .141

5.1.5正定矩阵的性质 142

5.2概念点拨 .142

5.2.1矩阵的等价、相似和合同三概念之间的区别及联系 . 142 5.2.2二次型的标准形是否唯一 ,规范形与标准形的区别与联系 . 142

5.3典型例题解析 143

5.3.1题型一：求二次型的矩阵及秩 143

5.3.2题型二：判断矩阵的合同 143

5.3.3题型三：化二次型为标准形 . 144

5.3.4题型四：正定二次型的判定及证明 146

5.4历年考研试题选解 149

5.5课后习题全解 156

5.6同步自测题 (五) 168附录 1模拟试题 . 171附录 2参考答案 . 190

线性代数学习指导是王天泽教授主编的《线性代数》教材的配套辅导用书. 线性代数学习指导共5章, 每章内容包括知识结构图、基本要求、概念点拨、典型例题解析、历年考研试题选解、课后习题全解、同步自测题及答案, 另有附录为十套模拟题及参考答案.