常微分方程

第1章 微分方程概论

1.1 基本概念

1.2 几何解释

1.3 微分方程论简介

1.4 常微分方程发展简史与相关著名科学家简介

1.4.1 常微分方程发展简史

1.4.2 对微分方程发展有重要贡献的数学家简介

习题1

第2章 微分方程模型

2.1 简单模型

2.2 人口问题模型

2.3 传染病动力学模型

习题2

第3章 初等积分法

3.1 分离变量法

3.1.1 可分离变量方程

3.1.2 可化为分离变量方程的方程

3.2 一阶线性微分方程

3.2.1 一阶线性齐次方程

3.2.2 非齐次方程，参数变易法

3.2.3 伯努利方程

3.2.4 里卡蒂方程

3.3 全微分方程，积分因子法

3.3.1 全微分方程

3.3.2 积分因子

3.4 一阶隐式方程与解的积分表示

3.4.1 可以解出y或z的方程

3.4.2 不显含y（或z）的方程

3.5 高阶微分方程的几种可积类型

3.5.1 方程F（z，y，yy）=0

3.5.2 方程F（y，yy）=0

习题3

第4章 基本定理

4.1 引言

4.2 解的存在唯一性定理

4.3 解的延拓

4.4 解对初值的连续性和可微性定理

4.4.1 解对初值的连续性

4.4.2 解对初值的可微性

习题4

第5章 线性微分方程（组）的理论和解法

5.1 化任意正规型微分方程和方程组为一阶正规型微分方程组

5.2 一阶线性方程组解的存在唯一性定理

5.3 线性微分方程组

5.3.1 齐次线性微分方程组

5.3.2 非齐次线性微分方程组，常数变易法

5.4 常系数线性微分方程组的解法

5.4.1 矩阵A的特征根均是单根的情形

5.4.2 矩阵A有重的特征根的情形

5.4.3 常系数线性非齐次微分方程组的解法

5.5 高阶线性微分方程

5.6 常系数高阶线性微分方程

5.6.1 常系数线性齐次方程

5.6.2 常系数线性非齐次方程

5.6.3 线性非齐次方程的叠加原理

5.6.4 欧拉方程

习题5

第6章 非线性微分方程组

6.1 动力系统与自治微分方程的概念

6.1.1 引例

6.1.2 基本概念

6.2 自治微分方程组解的性质

6.2.1 自治系统轨线的特点

6.2.2 自治系统解的基本性质

6.2.3 应用实例——传染病动力学模型分析

6.3 平面线性系统的稳定性

6.4 按线性近似决定非线性微分方程组的稳定性

6.5 李雅普诺夫第二方法

6.6 周期解与极限环

习题6

第7章 首次积分与一阶偏微分方程

7.1 一阶常微分方程组的首次积分

7.1.1 首次积分的定义

7.1.2 首次积分的性质

7.1.3 首次积分的存在性

7.2 一阶线性偏微分方程

7.2.1 一阶齐次线性偏微分方程

7.2.2 一阶拟线性偏微分方程

7.3 一阶偏微分方程解的几何解释

习题7

附录 系统矩阵A有重特征根时线性常微分方程组的解

部分习题参考答案

参考文献

本书是在数学与应用数学专业使用的常微分方程讲义的基础上编写而成的，除了讲述常微分方程的基础理论外，突出“发展”和“建模”两条线索，体现常微分方程学科的建立和发展与解决实际问题的密切关系.全书分为7章，分别讲述微分方程概论、微分方程模型、初等积分法、基本定理、线性微分方程（组）的理论和解法、非线性微分方程组、首次积分与一阶偏微分方程.本书可以作为数学与应用数学、信息科学与计算数学等专业“常微分方程”课程的教材或教学参考书.

《常微分方程：理论、建模与发展》可以作为数学与应用数学、信息科学与计算数学等专业“常微分方程”课程的教材或教学参考书。