微分几何初步

绪论

第一章 预备知识

1 标架

2 向量函数

第二章 曲线论

1 参数曲线

2 曲线的孤长

3 曲线的曲率和Frenet标架

4 挠率和Frenet公式

5 曲线论基本定理

6 曲线在一点的标准展开

7 平面网络

第三章 曲面的第一基本形式

1 曲面的定义

2 切平面的法线

绪论

第一章 预备知识

1 标架

2 向量函数

第二章 曲线论

1 参数曲线

2 曲线的孤长

3 曲线的曲率和Frenet标架

4 挠率和Frenet公式

5 曲线论基本定理

6 曲线在一点的标准展开

7 平面网络

第三章 曲面的第一基本形式

1 曲面的定义

2 切平面的法线

3 曲面的第一基本形式

4 曲面上正交参数曲线风的存在性

5 保长对应和保角对应

6 可展曲面

第四章 曲面的第二基本形式

1 第二基本形式

2 法曲率

3 gauss映和weingarten映射

4 主方向和主曲率的计算

5 dupin标形和曲面的一点的标准展开

6 某些特殊曲面

第五章 曲面论基本定理

1 自然标架的运动公式

2 曲面的唯一性定理

3 曲面论基本方程

4 曲面的存在性定理

5 gauss定理

第六章 测地曲率和测地线

1 测地曲率和测地挠率

2 测地线

3 测地坐标系

4 常曲率曲面

5 曲面上向量场的平行移动

6 gauss-bonnet公式

第七章 活动标架和外微分法

1 外形式

2 外微分

3 E3的标架族

4 曲面上的标架场

5 曲面上的曲线

附录

1 关于常微分方程的几个定理

2 一阶偏微分方程组的可积性

3 张量

索引

本书是北京大学数学系微分几何课程的教材，主要讲述三维欧氏空间中曲线和曲面的局部理论，内容包括：预备知识，曲线论，曲面的第一基本形式，曲面的第二基本形式，曲面论基本定理，测地曲率和测地线，活动标架和外微方法。另有附录叙述了本书所用的微分方程的定理，并介绍了张量的概念。本书力图向近代微分几何的语言和方法靠近，因此在讲述时尽量结合现代流形的概念，并且自始至终使用附属在曲线、曲面上的标架场，对外微分形式有相当详细的介绍。本书叙述深入浅出，条理清楚，论证严密，突出几何想法，便于读者理解与掌握。

　　本书可作为综合大学及高等师范院校的微分几何课程教材，也可作为高等教育自学考试的教学参考书。

　　本书是北京大学数学系微分几何课程的教材，主要讲述三维欧氏空间中曲线和曲面的局部理论，内容包括：预备知识，曲线论，曲面的第一基本形式，曲面的第二基本形式，曲面论基本定理，测地曲率和测地线，活动标架和外微方法。另有附录叙述了本书所用的微分方程的定理，并介绍了张量的概念。本书力图向近代微分几何的语言和方法靠近，因此在讲述时尽量结合现代流形的概念，并且自始至终使用附属在曲线、曲面上的标架场，对外微分形式有相当详细的介绍。本书叙述深入浅出，条理清楚，论证严密，突出几何想法，便于读者理解与掌握。

　　本书可作为综合大学及高等师范院校的微分几何课程教材，也可作为高等教育自学考试的教学参考书。