实变函数论讲义

前言

第1章 集合与点集

1.1 集合及相关概念

1.1.1 集合的运算

1.1.2 集合列的上极限和下极限

习题

1.2 映射、基数与可数集

1.2.1 映射

1.2.2 基数

1.2.3 可数集

1.2.4 不可数集与连续基数

习题

1.3 rn中的点集

1.3.1 n维欧氏空间rn

1.3.2 开集、闭集及其性质

1.3.3 开集与闭集的构造

习题

1.4 集类选讲

1.4.1 集类

1.4.2 环与代数

1.4.3 单调类

习题

第2章 测度理论

2.1 勒贝格测度

2.1.1 勒贝格外测度

2.1.2 勒贝格测度的定义

2.1.3 勒贝格测度的另一定义

习题

2.2 勒贝格测度的性质

习题

2.3 勒贝格可测集的结构与测度空间

2.3.1 勒贝格可测集的结构

2.3.2 测度空间

2.3.3 不可测集举例

习题

第3章 可测函数

3.1 可测函数概念及其性质

3.1.1 可测函数概念

3.1.2 可测函数的基本性质

习题

3.2 可测函数列的收敛性

3.2.1 几乎处处收敛与几乎一致收敛

3.2.2 可测函数列的依测度收敛性

习题

3.3 可测函数的构造

习题

第4章 勒贝格积分

4.1 黎曼积分存在的充要条件

4.1.1 引入勒贝格积分的常用方法

4.1.2 黎曼可积的充要条件

习题

4.2 有界函数的勒贝格积分

习题

4.3 一般可测函数的勒贝格积分

习题

4.4 积分的极限定理

习题

4.5 乘积测度和富比尼定理

4.5.1 乘积测度与勒贝格积分的几何意义

4.5.2 富比尼定理

习题

第5章 lp空间

5.1 lp空间的范数与度量

习题

5.2 lp空间的性质

习题

5.3 l2空间

习题

第6章 微分与不定积分

6.1 有界变差函数

6.2 单调函数的导数

6.3 绝对连续函数与勒贝格不定积分

6.3.1 绝对连续函数

6.3.2 牛顿-莱布尼茨公式

习题

索引

参考文献

《应用统计学系列教材：实变函数论讲义》以集合论基本知识为出发点，重点讲授勒贝格测度和勒贝格积分理论，核心是勒贝格积分，而特征函数是联系可测集、可测函数和勒贝格积分的纽带。对于p次可积函数类，从空间的角度刻画了其整体性质，核心是完备性和可分性。最后通过引入绝对连续函数概念，获得了牛顿-莱布尼茨公式成立的充要条件。
《应用统计学系列教材：实变函数论讲义》可作为统计学、数学等学科的教材或相关专业人员的参考书。