重要不等式

前言

第1章 平均值不等式

1.1 常数的巧换

1.2 元素的巧选

1.3 项的巧拆

1.4 结构的巧变

1.5 注意恒等式的使用

1.6 因式的巧嵌

1.7 变量代换的使用

1.8 项的巧裂

1.9 待定系数的选取

1.10 项的放缩

第2章 柯西不等式

2.1 常数的巧拆

2.2 因式的巧嵌

2.3 结构的巧变

2.4 项的巧选与位置的巧换

2.5 变换的巧用

2.6 因式的巧分

2.7 局部使用柯西不等式

2.8 待定系数的巧取

2.9 联用均值不等式

2.1 柯西不等式的推广

第3章 排序不等式和切比雪夫不等式

3.1 构造数组的序是关键

3.2 多次排序注意序的统一性

3.3 组合排序

3.4 排序不等式与均值不等式或柯西不等式结合

3.5 数组个数的选取

3.6 归纳法中使用排序

第4章 舒尔不等式

4.1 舒尔不等式及其变形的直接应用

4.2 舒尔不等式与均值不等式的联用

4.3 舒尔不等式与柯西不等式的联用

4.4 舒尔不等式与反证法的联用

4.5 舒尔不等式与分析法联合使用

练习题

参考解答

《重要不等式》介绍重要不等式的小册子。
　　笔者曾应《中等数学》杂志社的邀请，写过两篇竞赛讲座：《重要不等式和不等式的证明》和《一些不等式赛题的证明方法》，也在《数学通讯》和《中学数学月刊》上发表过《均值不等式》、《柯西不等式》、《舒尔不等式》和《切比雪夫不等式》的系列讲座，2010年暑假在江苏省数学奥林匹克夏令营中，偶遇中国科学技术大学出版社两位年轻的编辑在宣传数学奥赛辅导丛书，其中有苏淳教授的《从特殊性看问题》、《漫话数学归纳法》；单蹲教授的《算两次》、《解析几何技巧》；余红兵教授的《构造法解题》；史济怀教授的〈〈组合恒等式》．本人就冒昧地和两位编辑讲，我想将自己对重要不等式的研究写本册子，结果得到了中国科学技术大学出版社的支持。
　　说实话写《重要不等式》，给了我很多压力，因为前面的几位作者都是大家非常熟悉的数学家，他们的书质量非常高，有的书再版了许多次，仍然供不应求，因此我努力地向以上作者学习，从中汲取了许多宝贵经验。