数论与应用

第1章 整数的唯一分解定理

1.1 归纳定理

1.2 整除、素数与合数

1.3 带余数除法

1.4 最大公因数与最小公倍数

1.5 整数的唯一分解定理

1.6 辗转相除法

1.7 素数定理

习题第2章 同余运算

2.1 同余

2.2 剩余类和完全剩余系

2.3 简化剩余系与Euler函数

2.4 Euler定理与Fermat定理

2.5 Wilson定理

2.6 整数的剩余表示

习题第3章 同余方程

3.1 同余方程和一次同余方程

3.2 一次同余方程组和孙子定理

3.3 高次同余方程

3.4 模为高次幂的同余方程

3.5 模为素数的同余方程

习题第4章 二次同余方程与平方剩余

4.1 一般二次同余方程

4.2 模为奇素数的二次同余方程

4.3 勒让德符号

4.4 二次互反律

4.5 雅可比符号

4.6 模为奇素数的二次剩余

4.7 模为合数的二次剩余

习题第5章 不定方程

5.1 二元一次不定方程

5.2 ?n?元一次不定方程

5.3 方程?x?2+y?2=z?2?

5.4 几类特殊的不定方程

习题第6章 数论函数

6.1 函数［?x?］和{?x?}

6.2 数论函数pot??p?(?u?)

6.3 墨比乌斯函数

6.4 数论函数的狄利克雷乘积

6.5 积性函数

6.6 欧拉函数

6.7 ?π(x)?的估值

习题第7章 指数和原根

7.1 指数

7.2 原根及其存在的条件

7.3 指标及?n?次剩余

7.3.1 指标的性质

7.3.2 ?n?次剩余

习题第8章 素性判别

8.1 Fermat小定理

8.2 拟素数和Fermat素性判别

8.3 Euler拟素数与Solovay-StaSSen判别

8.4 强拟素数与Miller-Rabin判别

8.5 利用?n?-1的因子分解的素性判别

8.6 利用?n?+1的因子分解的素性判别

8.7 基于椭圆曲线的素性判别

习题第9章 连分数与整数分解

9.1 连分数的基本性质

9.2 实数的连分数表示

9.3 循环连分数

9.4 连分数因子分解算法

9.5 正整数的分解

9.5.1 试除法

9.5.2 Fermat方法

9.5.3 Fermat方法的拓展

9.5.4 勒让德方法

9.5.5 Kraitchik方法(19世纪20年代)

9.5.6 B基数法--Brillhart-Morrison法

习题第10章 代数数与超越数

10.1 代数数

10.2 二次代数数

10.3 超越数

10.4 数e的超越性

10.5 数π的超越性

习题1第11章 密码学

11.1 仿射加密方法

11.2 RSA公钥密码

11.3 Diffie-Hellman体制

11.4 ElGamal加密算法

11.5 背包型加密方法

11.6 秘密共享

习题1第12章 数论的应用

12.1 计算星期几

12.2 循环比赛

12.3 Nim游戏

12.4 散列函数

12.5 校验位

12.6 孙子定理的应用

12.6.1 文件集合的加密

12.6.2 秘密共享

12.7 原根的一个应用

习题1习题参考答案

参考文献

本书论述数论的基本内容。全书共分12章，内容包括整数的唯一分解定理、同余运算、同余方程、二次同余方程与平方剩余、不定方程、数论函数、指数和原根、素性判别、连分数与整数分解、代数数与超越数、密码学和数论的应用。书中配有较多的例题和习题，书末附有提示与解答。本书可作为信息安全、数论等专业的本科生教材，可供相关专业的研究人员、高等学校的教师参考，也可供数学工作者、中学数学教师和高中学生阅读。