常微分方程简明教程

第1章 基本概念

1.1 微分方程及其解

1.2 微分方程的物理背景——动力机制的数学模型

1.3 微分方程的定解问题

练习题1

第2章 一阶微分方程

2.1 显方程的初等求解法

练习题2.1

2.2 隐方程的参数解法

2.3 方程的近似解析解

2.4 正交方向场和正交轨线

练习题2.2

第3章 一阶微分方程Cauchy问题的适定性

3.1 Peano定理

3.2 Cauchy-Picard定理

3.3 解的延拓 饱和解

3.4 初值与参数的偏差所引起的解的偏差

3.5 奇解——通解族的包络

练习题3

第4章 高阶线性微分方程

4.1 线性齐次微分方程

4.2 Liouville（刘维尔）公式

4.3 非齐次线性微分方程 常数变易法

4.4 常系数线性齐次微分方程式

4.5 常系数非齐次线性方程 待定系数法

4.6 RLC交流电路

4.7 Euler方程

4.8 二阶微分方程的降阶法

练习题4

第5章 微分方程的级数解

5.1 一阶微分方程的解析解 优级数

5.2 常点邻域二阶线性方程的解 Legendre多项式

5.3 正则奇点邻域二阶线性方程的解

5.4 Bessel方程和柱函数

练习题5

第6章 常微分方程组

6.1 二维动力系统模型二则

6.2 常微分方程组的基本概念

6.3 线性微分方程组

6.4 常系数线性微分方程组

6.5 矩阵函数etA及其计算

练习题6

*第7章 常微分方程特征值问题

7.1 经典Sturm-Liouville问题及其缘起

7.2 本征值的实值性和本征函数的正交性

7.3 Sturm零点定理与特征值的存在性

7.4 按特征函数系的展开式

*第8章 动力系统简介

8.1 引言

8.2 李雅普诺夫稳定性

8.3 平面自治系统的极限环

8.4 混沌简介

练习题答案

《21世纪高等院校教材：常微分方程简明教程》论述现代常微分方程理论中基础原理部分，其主体内容基本上在传统教材框架之内，但论述的观点、重心和风格有较多迥异。全书共分8章，前6章属于基础原理部分，内容包括基本概念、一阶微分方程、初值定解的适定性、高阶线性微分方程、微分方程的级数解、常微分方程组，这部分是本教程的主体，若用于教学，一般需要60个学时。后两章主要讲述现代常微分方程中两个主干分支——常微分算子和动力系统理论的基本概念和背景，简略介绍它们的部分内容和新发展。
本教程选材得当，论述简洁明澈，主干脉络清晰，语言平易流畅，并且紧密联系物理与应用背景，不仅在理论上表现出鲜明的科学性和先进性，而且具有很好的可读性。全书配有精选的练习题（附答案）。
《21世纪高等院校教材：常微分方程简明教程》可作为数学、物理类专业本科生教材，及其他理工类相关专业本科生或研究生教材，对于广大从事工程学或自然科学的读者，《21世纪高等院校教材：常微分方程简明教程》也不失为一本很好的参考书或自学入门教材。

《21世纪高等院校教材：常微分方程简明教程》内容分为两大部分。第一部分（前6章）讲述常微分方程基础理论的原理和方法，这部分的主体内容大致在传统教材的内容框架之内，这样使得本教程与现行的教学有一个较好的衔接，然而在讲授的观点、重心与风格上，却与现行教材有一定迥异。第二部分（第7、8章）讲述现代常微分方程理论的两大主干分支——微分动力系统和常微分算子的基本概念和背景，简略介绍它们的若干内容和新发展，以使读者能一窥常微分方程现代理论的大略。