数学物理中的微分几何与拓扑学

第1部分 微分流形

第1章 预备知识

&1.1 什么是流形

&1.2 在流形中引入坐标与微分结构

&1.3 切空间和余切空间

&1.4 微分形式与外微分

&1.5 流形的定向和微分形式的积分

第2章 切向量和余切向量的一些性质和运算

&2.1 切向量场和余切向量场的映射变换

&2.2 子流形及层状结构

&2.3 李导数Lx

&2.4 内积算子ix和三个Cartan公式

&2.5 齐李群空间

&2.6 李群空间上的不变向量场和不变余向量场

第3章 曲率张量和挠率张量、协变微分、伴随外微分

&3.1 协变微分与联络

&3.2 流形上向量的迁移及曲率和挠率

&3.3 曲率张量和挠率张量的结构方程和可积条件

&3.4 Hodge*和伴随外微分

第4章 黎曼几何

&4.1 黎曼度量

&4.2 Levi-Civita平行输运、黎曼联络、曲率张量

&4.3 两个有趣的例子

&4.4 n维黎曼流形上的四脚标架场

&4.5 黎曼流形上的共形变换群（流形维数>；2）

&4.6 黎曼流形上的共形变换群（流形维数n=2）

第5章 复流形

&5.1 复流形和它的特点

&5.2 矢量空间上的复结构和近复流形

&5.3 近厄米流形、厄米流形、厄米联络

&5.4 Kahler流形

第2部分 整体拓扑性质

第6章 流形的同伦性质与同伦群

&6.1 同伦映射

&6.2 基本群∏1（M，x。）

&6.3 同伦群的结构与同态序列

&6.4 高阶同伦群

&6.5 7z维球S“的同伦群

第7章 同调论与de Rham上同调论

&7.1 整同调群

&7.2 同调群与连通性、定向性的关系

&7.3 通过对偶同态引入上同调群

&7.4 de Rham上同调论

&7.5 调和形式Harmk（M，R）

第8章 纤维丛及其拓扑结构

&8.1 什么是纤维丛

&8.2 纤维丛与截面

&8.3 几种有代表性的纤维丛

&8.4 其他各种纤维丛举例

&8.5 万有丛和分类空间

第9章 纤维丛上的联络与曲率

&9.1 一般向量丛上的联络

&9.2 有关向量丛上曲率的几个说明

&9.3 主丛上的联络

&9.4 伴向量丛上的联络

第10章 纤维丛的示性类与曲率张量

&10.1 不变多项式与示性类

&10.2 复向量丛上的陈示性类

&10.3 实向量丛上的庞特里亚金示性类

&10.4 实定向偶维向量丛上的欧拉示性类

&10.5 实向量丛上的斯蒂菲尔-惠特尼示性类

&10.6 陈-Simo 示性类

第3部分 指标定理和四维流形

第11章 无边界流形的指标定理

&11.1 椭圆微分算子与解析指标

&11.2 椭圆复形与Atiyah-Singer指标定理

&11.3 de Rham复形与Gauss-Bonnet定理

第12章 四维流形的一些重要性质

&12.1 S4上非平庸瞬子解（*F=F）和Bianchi恒等式

&12.2 自对偶联络A（∈■）的模空间维数

&12.3 单连通4-流形的拓扑分类

&12.4 Donaldson定理

&12.5 Taubes定理

《数学物理中的微分几何与拓扑学》以理论物理文献中常用的语言深入浅出地介绍了微分几何与拓扑学（涉及代数拓扑与微分拓扑）近几十年来有深刻意义的重要发展。这些发展与理论物理的发展是密切相关的。