实变函数与泛函分析

第1章 集合与测度

1.1 集合及映射

1.2 度量空间

1.3 Lebesgue可测集

习题1

第2章 可测函数

2.1 简单函数与可测函数

2.2 可测函数的性质

2.3 可测函数列的收敛性

习题2

第3章 Lebesgue积分

3.1 Lebesgue积分的概念与性质

3.2 积分收敛定理

3.3 Lebesgue积分与Riemann积分的关系

3.4 微分和积分

3.5 Fubini定理

习题3

第4章 线性赋范空间

4.1 线性空间

4.2 线性赋范空间

4.3 线性赋范空间中的收敛

4.4 空间的完备性

4.5 列紧性与有限维空间

4.6 不动点定理

4.7 拓扑空间简介

习题4

第5章 内积空间

5.1 内积空间与Hilbert空间

5.2 正交与正交补

5.3 正交分解定理

5.4 内积空间中的Fourier级数

习题5

第6章 有界线性算子与有界线性泛函

6.1 有界线性算子

6.2 开映射定理、共鸣定理和Hahn-Banach定理

6.3 共轭空间与共轭算子

6.4 几种收敛性

6.5 算子谱理论简介

习题6

第7章 Banach空间上算子的微分

7.1 非线性算子的有界性和连续性

7.2 微分与导算子

7.3 Riemann积分

7.4 高阶微分

7.5 隐函数定理与反函数定理

习题7

第8章 泛函的极值

8.1 泛函极值问题的引入

8.2 泛函的无约束极值

8.3 泛函的约束极值问题

8.4 算子方程的变分原理

习题8

参考文献

《实变函数与泛函分析》第1章至第6章为实变函数与泛函分析的基本内容，包括集合与测度、可测函数、Ledcsgue积分、线性赋范空间、内积空间、有界线性算子与有界线性泛函等，第7章介绍了Banach空间上算子的微分，第8章介绍了泛函极值的相关内容，《实变函数与泛函分析》循着几何、代数、分析中熟悉的线索介绍了泛函分析的基本理论与非线性泛函分析的初步知识。
《实变函数与泛函分析》可用作应用数学、信息与汁算科学、统计学专业的本科生教材，也给供相关专业的教师及工科研究生参考。