常微分方程与边值问题

前言

第1章基本概念及预备知识

1．1基本概念

1．常微分方程的定义

2．常微分方程的分类

3．常微分方程的解

1．2预备知识

1．Vandermonde行列式的推广

2．向量和矩阵的范数

3．矩阵级数和矩阵指数函数

4．微分算子D

5．不动点定理

6．Gronwall不等式

7．隐函数定理

1．3讨论和应用

1．关于解的定义

2．关于微分方程的应用

第2章常微分方程基本理论

2．1Peano存在定理

2．2Picard定理

2．3比较定理

2．4解对初值和参数的连续依赖

2．5讨论

关于初值问题的适定性

第3章线性微分方程和微分系统

3．1解的结构

1．一阶线性微分系统解的结构

2．线性微分方程解的结构

3．常系数高阶线性微分系统解的结构

3．2微分方程和微分系统的求解

1．一阶线性微分方程的求解

2．高阶线性微分方程的求解

3．高阶常系数线性微分方程的求解

4．线性微分系统的求解

5．由伴随阵求常系数微分系统的解

3．3讨论和应用

1．关于常系数微分系统的求解

2．关于机械振动

第4章非线性微分方程

4．1一阶显式方程的求解

1．变量分离型

2．可以化为变量分离型的几类方程

3．Bernoulli方程

4．全微分方程和可以化为全微分方程的一阶微分方程

4．2一阶隐式方程的求解

1．由方程(4．42)可解出z或t

2．x或t均不能由方程(4．42)解出

4．3奇解

4．4讨论和应用

1．关于奇解

2．关于Logisti方程

第5章非线性系统和非线性现象

5．1稳定性理论

1．稳定性

2．由线性近似判断稳定性

3．Lyapunov方法

5．2平面动力系统

1．动力系统

2．平面动力系统分析

5．3分支与混沌

1．单参数常微分方程的分支

2．二维系统的单参数分支

3．混沌

5．4讨论和计算

1．关于稳定性的定义

2．Hurwitz定理

3．关于计算机作图

第6章微分方程边值问题

6．1线性微分方程边值问题

1．二阶线性微分方程边值问题的可解性

2．高阶线性微分方程边值问题的可解性

6．2Green函数

1．二阶线性半齐次边值问题与Green函数

2．高阶半齐次线性边值问题与Green函数

3．一阶线性微分系统边值问题与Green函数阵

6．3二阶边值问题的特征值问题

1．特征值问题

2．特征函数系的性质

6．4非线性微分方程边值问题

6．5讨论和应用

1．关于特征函数系的完备性

2．关于边值问题和实际问题的联系

参考文献

附录

附录A预备定理的证明

A．1推广的Vandermonde行列式

A．2Schauder不动点定理

A．3Banach不动点定理

A．4Arzela-Ascoli定理

A．5隐函数定理

A．6常系数线性微分系统的通解

附录B典型微分方程问题

B．1追线问题

B．2悬链线问题

B．3振荡电路问题

B．4V0lterra生态模型

B．5Kepler定律

B．6地震引发的振动

B．7弦的振动

参考答案

后记

　　本书是关于介绍“常微分方程与边值问题”的教学用书，书中主要内容包括：基本概念和预备知识，微分方程和微分系统的基本理论，线性微分方程和线性微分系统的解，一阶非线性微分方程的解，非线性微分系统和非线性现象，二阶微分方程边值问题。本书可作为数学及相关专业常微分方程课的教材或作自学之用。　　本书以讲授思想和方法为主，并以初值问题解的唯一性和非唯一性作为出发点，分别讨论线性和非线性问题，书中以算子法贯穿于求解线性问题的全过程，本书主要内容包括：基本概念和预备知识，微分方程和微分系统的基本理论，线性微分方程和线性微分系统的解，一阶非线性微分方程的解，非线性微分系统和非线性现象，二阶微分方程边值问题。　　本书可作为数学及相关专业常微分方程课的教材或作自学之用，也可供有关科研人员阅读参考。