积分方程及其数值方法

1　积分方程引论

1.1　积分方程的来源

1.2　积分方程的概念与分类

1.3　积分方程与微分方程的关系

习题

2　Hilbert空间与线性算子

2.1　度量空间

2.2　线性空间

2.3　赋范线性空间与Banach空间

2.4　内积空间与Hilbert空间

2.5　线性算子

2.6　线性算子的谱

习题

3　连续或平方可积核积分方程

3.1　连续核和平方可积核

3.2　退化核积分方程

3.3　逐次逼近法

3.4　Fredlaolm方法

3.5　Fredholm定理

习题

4　对称核积分方程

4.1　标准正交函数系

4.2　对称核的特征值与特征函数

4.3　Hilbert-Schmidt展开定理

4.4　Hilbert-Schmidt方法

习题

5　第Ⅰ类积分方程

5.1　第Ⅰ类Fredholm方程的特点

5.2　第Ⅰ类积分方程的特征值与特征函数

5.3　Schmidt-Picard定理

5.4　两种逐次逼近法

5.5　第Ⅰ类Volterra型积分方程

习题

6　卷积核积分方程

6.1　傅里叶变换方法

6.2　拉普拉斯变换方法

6.3　梅林变换方法

习题

7　第Ⅱ类积分方程的数值方法

7.1　未知函数级数展开法

7.2　积分核级数展开法

7.3　求积公式法

7.4　边界元方法

7.5　迭代方法

8　第Ⅰ类积分方程的数值方法

8.1　正则化策略与正则解

8.2　连续正则化方法

8.3　离散正则化方法

8.4　滤波正则化方法

8.5　迭代正则化方法

参考文献

本书系统介绍了积分方程的解析及数值方法基本理论，主要内容包括第Ⅰ类和第Ⅱ类的FredhOlm以及Volterra型积分方程的解析方法和数值方法，其中涉及的积分核有连续核、平方可积核、对称核、卷积核等。与现有积分方程教材相比，本书在保证积分方程基本理论相对完整的基础上，增加了积分方程数值方法的篇幅，特别是增加了求解不适定的第Ⅰ类积分方程的正则化数值方法。此外，考虑到泛函分析与积分方程的密切关系，还增加了对泛函分析基本知识的介绍。出于篇幅的考虑，本书没有涉及Cauchy型奇异积分方程和非线性积分方程。本书适合作为高等院校数学、力学、物理以及工科相关专业大学本科和研究生学习“积分方程”课程的教学用书，也可供广大科技工作者和工程技术人员阅读和参考。