数学分析讲义

第7章 点集拓扑初步

57.1 拓扑空间

练习

§7.2 连续映射

练习

§7.3 度量空间

练习

7.4 拓扑子空间，拓扑空间的积和拓扑空间的商

练习

7.5 完备度量空间

练习

7.6 紧空间

练习

7.7 Stone-Weierstrass逼近定理

练习

7.8 连通空间

练习

7.9 补充教材一：Urysohn引理

7.10 补充教材二：Jordan曲线定理

进一步阅读的参考文献

第8章 多元微分学

8.1 微分和导数

练习

8.2 中值定理

8.3 方向导数和偏导数

练习

8.4 高阶偏导数与Taylor公式

练习

58.5 反函数定理与隐函数定理

练习

8.6 单位分解

8.7 一次微分形式与线积分

8.7.1 一次微分形式与它的回拉

8.7.2 一次微分形式的线积分

练习

8.8 附加习题

8.9 补充教材一：线性赋范空间上的微分学及变分法初步

8.9.1 线性赋范空间上的重线性映射

8.9.2 连续重线性映射空间

8.9.3 映射的微分

8.9.4 有限增量定理

8.9.5 映射的偏导数

8.9.6 高阶导数

8.9.7 Taylor公式

8.9.8 变分法初步

8.9.9 无限维空间的隐函数定理

§8.10 补充教材二：经典力学中的Hamilton原理

8.10.1 Lagrange方程组和最小作用量原理

8.10.2 Hamilton方程组和Hamilton原理

进一步阅读的参考文献

第9章 测度

9.1 可加集函数

练习

9.2 集函数的可数可加性

练习

9.3 外测度

9.4 构造测度

……

第10章 积分

附录 部分练习及附加习题的提示

参考文献

名词索引

《北京高等教育精品教材：数学分析讲义（第2册）》是作者在清华大学数学科学系（1987-2003）及北京大学数学科学学院（2003-2009）给本科生讲授数学分析课的讲稿的基础上编成的。一方面，作者力求以近代数学（集合论，拓扑，测度论，微分流形和微分形式）的语言来介绍数学分析的基本知识，以使同学尽早熟悉近代数学文献中的表述方式。另一方面在篇幅允许的范围内，作者尽可能地介绍数学分析与其他学科（特别是物理学）的联系，以使同学理解自然现象一直是数学发展的重要源泉，全书分为三册，第一册包括：集合与映射，实数与复数，极限，连续函数类，一元微分学和一元函数的Riemann积分；第二册包括：点集拓扑初步，多元微分学，测度和积分；第三册包括：调和分析初步和相关课题，复分析初步，欧氏空间中的微分流形，重线性代数，微分形式和欧氏空间中的流形上的积分，每章都配有丰富的习题，它除了提供同学训练和熟悉正文中的内容外，也介绍了许多补充知识。
本书可作为高等院校数学系攻读数学、应用数学、计算数学的本科生数学分析课程的教材或教学参考书，也可作为需要把数学当做重要工具的同学（例如攻读物理的同学）的教学参考书。

    
本书是作者在清华大学数学科学系(1987—2003)及北京大学数学科学学院(2003—2009)给本科生讲授数学分析课的讲稿的基础上编成的。一方面，作者力求以近代数学(集合论，拓扑，测度论，微分流形和微分形式)的语言来介绍数学分析的基本知识，以使同学尽早熟悉近代数学文献中的表述方式，另一方面在篇幅允许的范围内，作者尽可能地介绍数学分析与其他学科(特别是物理学)的联系，以使同学理解自然现象一直是数学发展的重要源泉。本书可作为高等院校数学系攻读数学、应用数学、计算数学的本科生数学分析课程的教材或教学参考书，也可作为需要把数学当做重要工具的同学(例如攻读物理的同学)的教学参考书。