科学与工程计算方法

第1章两点边值问题的数值解法

1.1两点边值问题

1.1.1电线上的小鸟

1.1.2化学反应的动力学模型

1．2几种经典方法

1.2.1导数逼近方法(有限差分法)

1.2.2基函数法

1.2.3配置法

1.2.4最小二乘法

1.2.5打靶法

1．3非线性边值问题的数值解法

1．4其他边界条件的处理

1．5变分法

练习题

第2章刚性方程组的数值解法

2．1刚性方程组的基本概念

2．2刚性方程组的数值解法

2.2.1隐式RungeKuta法(隐式RK法)

2.2.2广义向后差分法

练习题

第3章偏微分方程的一般概念

3．1偏微分方程的定义

3．2典型方程的导出

3.2.1弦的振动方程

3.2.2热传导方程

3.2.3理想流体的力学问题

3．3定解问题及其适定性

3．4工程、经济和生物医学中的偏微分方程

3．5二阶线性方程的分类

练习题

附录一些著名的常用的偏微分方程

第4章抛物方程的差分格式

4．1预备知识

4．1．1微积分和线性代数基本概念回顾

4．1．2差分方法的基本概念

4．2三种古典差分格式

4.2.1最简显式格式

4.2.2最简隐式格式

4.2.3Richardson格式

4．3稳定性、相容性、收敛性

4.3.1稳定性

4.3.2相容性

4.3.3收敛性

4．4判别稳定性的Fourier分析方法

4.4.1最简显式格式

4.4.2最简隐式格式

4.4.3Richardson格式的稳定性

4．5常系数方程的其他差分格式

4.5.1CrankNicolson差分格式

4.5.2加权隐式格式

4.5.3三层显式格式

4.5.4三层隐式格式

4.5.5交替显隐式格式

4.5.6紧差分格式

4．6Richardson外推法

4．7变系数抛物方程的差分格式

4.7.1显式格式

4.7.2紧差分格式

4.7.3Keller盒式格式

4.7.4积分插值方法

4．8初边值问题的边界离散

4.8.1第一类初边值问题

4.8.2第二类或者第三类初边值问题

4．9高维抛物方程

4.9.1一般古典格式

4.9.2CrankNicolson格式

4.9.3交替显隐格式

练习题

第5章双曲方程的差分方法

5.1一阶常系数双曲方程简介

5.2几种显式差分格式

5.2.1迎风格式

5.2.2Lax格式

5.2.3LaxWendroff 格式

5.2.4跳蛙格式（LeapFog）

5.3Courant条件

5.4几种隐式差分格式

5.4.1最简隐式格式

5.4.2CrankNicolson格式

5.4.3Wendroff格式

5.4.4紧差分格式

5.5一阶常系数双曲方程组的差分格式

5.5.1Lax格式

5.5.2LaxWendroff格式

5.5.3迎风格式

5.5.4Wendroff格式

5.5.5蛙跳格式

5.6二阶双曲方程的差分格式

5.6.1显式格式

5.6.2隐式格式

5.6.3加权格式

5.6.4紧差分格式

5.7等价方程组的差分格式

5.7.1LaxFriedrichs 格式

5.7.2LaxWendroff格式

5.7.3隐式格式

5.7.4CrankNicolson格式

5.8双曲方程（组）的边值问题

5.9高维双曲方程（组）

5.9.1二维一阶双曲方程

5.9.2二维一阶双曲方程组

5.9.3二维波动方程的差分格式

5.10变系数双曲方程的差分格式

5.10.1一阶变系数对流方程的差分格式

5.10.2变系数方程组

5.10.3变系数波动方程

练习题

第6章对流扩散方程的差分格式

6.1几种差分格式

6.1.1中心差分格式

6.1.2修正中心显式格式

6.1.3迎风格式

6.1.4Samarskii格式

6.1.5CrankNicolson格式

6.2特征差分方法

6.2.1线性插值的特征差分格式

6.2.2基于二次插值的特征差分格式

6.3数值耗散和数值色散

6.3.1介绍

6.3.2偏微分方程的耗散与色散

6.3.3差分格式的数值耗散和数值色散

练习题

第7章椭圆方程的差分格式

7.1几种差分格式

7.1.1五点差分格式

7.1.2九点格式

7.1.3积分方法的差分格式

7.2椭圆方程的边界离散处理

7.2.1矩形区域

7.2.2一般区域

7.3变系数椭圆方程

7.3.1直接差分方法

7.3.2有限体积法（积分差分方法）

7.4极坐标形式的差分格式

7.5多重网格法

练习题

第8章变分问题的近似计算方法

8.1古典变分问题的例子

8.2变分问题的等价问题

8.2.1二次函数的极值问题

8.2.2泛函极值问题中的基本概念和Euler方程

8.2.3泛函极值问题的等价问题

8.3变分问题的数值计算方法

8.3.1Ritz方法

8.3.2Galerkin方法

练习题

第9章有限元方法

9.1Lagrange插值函数

9.2微分方程的弱形式

9.3一维问题的有限元方法

9.3.1线性有限元空间

9.3.2有限元方程的生成

9.3.3一维高次有限元

9.4二维有限元方法

9.4.1三角线性有限元方法

9.4.2有限元方法例题

9.4.3有限元方法的实现

9.5二维矩形双线性元

9.6误差估计

9.6.1一维线性有限元的误差估计

9.6.2二维线性有限元的误差估计

练习题

参考文献

本书是“科学与工程计算方法”课程的配套教材，介绍了科学与工程计算中最常用和最基本的数值计算方法.本书内容充实，重点突出，强调方法的构造与应用； 推导过程既重视理论分析，又避免过多的理论证明； 对每种方法都在计算机上编程实现，并给出真解、数值解和误差的曲面图，让读者有直观的感受.全书共9章，分别是： 两点边值问题的数值解法、刚性方程组的数值解法、偏微分方程的一般概念、抛物方程的差分格式、双曲方程的差分格式、对流扩散方程的差分格式，椭圆方程的差分格式、变分问题的近似计算方程、有限元方法.本书适合非数学专业的工科研究生或者计算数学专业高年级本科生学习使用.