数学分析学习与考研指导

第1章 集合与映射1

1.1 内容概要1

1.1.1 集合1

1.1.2 映射1

1.1.3 函数2

1.2 典型题解3

1.3 考研真题5

1.3.1 考点分析5

1.3.2 题目选解5

第2章 数列极限7

2.1 内容概要7

2.1.1 数列极限的概念与性质7

2.1.2 无穷小量和无穷大量7

2.1.3 收敛准则8

2.2 典型题解8

2.3 考研真题18

2.3.1 考点分析18

2.3.2 题目选解19

第3章 函数极限与连续函数25

3.1 内容概要25

3.1.1 函数极限25

3.1.2 连续函数26

3.1.3 无穷小量与无穷大量的阶26

3.1.4 闭区间上的连续函数28

3.2 典型题解28

3.3 考研真题37

3.3.1 考点分析37

3.3.2 题目选解37

第4章 微分46

4.1 内容概要46

4.1.1 微分和导数46

4.1.2 导数的四则运算46

4.1.3 反函数和复合函数的求导法则47

4.1.4 高阶导数和高阶微分47

4.2 典型题解48

4.3 考研真题58

4.3.1 考点分析 58

4.3.2 题目选解58

第5章 微分中值定理及其应用64

5.1 内容概要64

5.1.1 微分中值定理64

5.1.2 L′Hospital法则64

5.1.3 插值多项式和Taylor公式65

5.2 典型题解66

5.3 考研真题78

5.3.1 考点分析78

5.3.2 题目选解78

第6章 不定积分86

6.1 内容概要86

6.1.1 不定积分的概念和线性性质86

6.1.2 换元积分法和分部积分法87

6.2 典型题解88

6.3 考研真题100

6.3.1 考点分析100

6.3.2 题目选解100

第7章 定积分103

7.1 内容概要103

7.1.1 定积分的概念和可积条件103

7.1.2 定积分的基本性质104

7.1.3 微积分基本定理105

7.2 典型题解105

7.3 考研真题115

7.3.1 考点分析115

7.3.2 题目选解115

第8章 反常积分122

8.1 内容概要122

8.1.1 反常积分的概念和计算122

8.1.2 非负函数无穷积分判别法123

8.1.3 一般函数无穷积分的收敛判别法124

8.1.4 无界函数反常积分的收敛判别法 124

8.1.5 绝对收敛与条件收敛124

8.2 典型题解125

8.3 考研真题136

8.3.1 考点分析136

8.3.2 题目选解136

第9章 数项级数140

9.1 内容概要140

9.1.1 数项级数的收敛性140

9.1.2 上极限与下极限140

9.1.3 正项级数141

9.1.4 任意项级数142

9.2 典型题解144

9.3 考研真题153

9.3.1 考点分析153

9.3.2 题目选解153

第10章 函数项级数160

10.1 内容概要160

10.1.1 函数项级数的一致收敛性160

10.1.2 一致收敛的判别法160

10.1.3 一致收敛级数的性质161

10.1.4 幂级数162

10.1.5 幂级数的性质162

10.1.6 函数的幂级数展开163

10.2 典型题解164

10.3 考研真题176

10.3.1 考点分析176

10.3.2 题目选解176

第11章 Euclid空间上的极限和连续187

11.1 内容概要187

11.1.1 Euclid空间上的基本定理187

11.1.2 多元函数的极限与累次极限187

11.1.3 多元函数的连续性188

11.2 典型题解189

11.3 考研真题195

11.3.1 考点分析195

11.3.2 题目选解195

第12章 多元函数的微分学198

12.1 内容概要198

12.1.1 偏导数与全微分198

12.1.2 高阶偏导数与高阶微分199

12.1.3 多元复合函数的求导法则199

12.1.4 中值定理和Taylor公式200

12.1.5 隐函数存在定理201

12.1.6 偏导数在几何中的应用202

12.1.7 无条件极值202

12.1.8 条件极值问题与Lagrange乘数法202

12.2 典型题解203

12.3 考研真题213

12.3.1 考点分析213

12.3.2 题目选解214

第13章 重积分224

13.1 内容概要224

13.1.1 重积分的概念224

13.1.2 重积分的性质225

13.1.3 一般区域上的重积分计算226

13.1.4 变量代换226

13.1.5 无界区域上的反常重积分227

13.1.6 无界函数的反常重积分227

13.2 典型题解228

13.3 考研真题236

13.3.1 考点分析236

13.3.2 题目选解236

第14章 曲线积分、曲面积分与场论242

14.1 内容概要242

14.1.1 第一类曲线积分242

14.1.2 第一类曲面积分243

14.1.3 第二类曲线积分244

14.1.4 第二类曲面积分245

14.1.5 Green公式、Gauss公式与Stokes公式246

14.2 典型题解247

14.3 考研真题261

14.3.1 考点分析261

14.3.2 题目选解261

第15章 含参变量积分269

15.1 内容概要269

15.1.1 含参变量的常义积分269

15.1.2 无穷区间上的含参变量反常积分269

15.1.3 无界函数的含参变量反常积分270

15.1.4 一致收敛积分的分析性质271

15.1.5 Beta函数271

15.1.6 Gamma函数271

15.1.7 三个重要公式272

15.2 典型题解272

15.3 考研真题282

15.3.1 考点分析282

15.3.2 题目选解283

第16章 Fourier级数290

16.1 内容概要290

16.1.1 函数的Fourier级数展开290

16.1.2 Fourier级数的收敛判别法291

16.1.3 Fourier级数的性质291

16.2 典型题解292

16.3 考研真题301

16.3.1 考点分析301

16.3.2 题目选解301

附录A 南京市部分高校近年来硕士研究生入学考试数学分析试题及解答306

参考文献443

编写本书的目的是给大学生学习“数学分析”提供指导，特别是给准备报考硕士研究生的同学提供比较实用的复习资料，同时也给教师的教学和考研辅导提供参考书. 为了便于学习并与教学时同步使用，本书按国内通用的《数学分析》教材的章节编写.在每一章中，先梳理和总结其基本内容，列出基本概念、基本定理和主要公式；然后，挑选具有代表性的题目进行分析和解答；最后，选择了国内部分高校的考研题并给出解答，使准备报考硕士研究生的同学在复习知识、积累做题经验的同时能够了解近年来国内高校研究生入学考试中数学分析试题的难易程度.本书最后附录了南京市部分高校近年来硕士研究生入学考试数学分析试题及解答，供准备考研的同学参考.本书可作为低年级学生学习数学分析课程时的同步参考书，高年级同学准备报考硕士研究生时的复习资料，也可以作为教师的教学参考书.