常微分方程

第一章 一阶微分方程

1.1 微分方程和解

1.1.1 微分方程与数学模型

1.1.2 定义和术语

1.1.3 初值问题

1.2 积分法与可分离变量方程

1.2.1 积分法

1.2.2 可分离变量方程

1.2.3 变量替换

1.3 线性方程

1.3.1 指数积分因子法

1.3.2 常数变易法

1.3.3 化非线性为线性

1.4 恰当方程

1.4.1 恰当方程的定义

1.4.2 积分因子

1.5 一阶隐式微分方程

第二章 一阶线性常微分方程组

2.1 矩阵与矩阵函数分析初步

2.1.1 矩阵的特征值与特征向量

2.1.2 矩阵范数，矩阵序列的收敛性与矩阵指数

2.1.3 矩阵函数与向量函数

2.1.4 若尔当块矩阵的矩阵指数函数

2.1.5 向量函数组的线性相关与线性无关性

2.2 解的存在与唯一性

2.3 线性常微分方程组的通解

2.3.1 线性齐次微分方程组的通解

2.3.2 线性非齐次微分方程组的通解

2.4 常系数线性常微分方程组的通解

2.4.1 常系数线性微分方程组的解的基本表达式

2.4.2 常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵

2.4.3 常系数非齐次线性微分方程组的求解

第三章 高阶线性常微分方程

3.1 高阶线性常微分方程与一阶线性常微分方程组

3.2 高阶线性微分方程的通解

3.2.1 齐次线性方程的通解

3.2.2 非齐次线性方程的通解

3.3 高阶常系数线性齐次微分方程的通解

3.3.1 特征根均是单根的情形

3.3.2 特征根有重根的情形

3.4 高阶常系数非齐次线性微分方程的通解

3.4.1 类型I

3.4.2 类型Ⅱ

3.5 幂级数解法与拉普拉斯变换法简介

3.5.1 幂级数解法

3.5.2 拉普拉斯变换法

第四章 非线性微分方程基本理论

4.1 存在与唯一性定理

4.2 解的延拓

4.3 解对初值和参数的连续性与可微性

第五章 定性理论与分支方法初步

5.1 基本概念

5.2 李雅普诺夫函数方法

5.2.1 李雅普诺夫函数方法

5.2.2 双曲奇点的稳定性

5.3 一维周期微分方程

5.4 细焦点与极限环

5.4.1 细焦点及其稳定性

5.4.2 极限环及其稳定性

5.4.3 极限环的存在性

5.5 常见分支现象举例

5.5.1 鞍结点分支与叉型分支

5.5.2 Hopf分支与同宿分支

5.5.3 近哈密顿系统

第六章 常微分方程边值问题

6.1 基本概念及其可解性

6.1.1 边值问题的分类

6.1.2 边值问题的可解性

6.2 Sturm-Liouville边值问题的特征值和特征函数

6.2.1 特征值和特征函数

6.2.2 特征值和特征函数的性质

6.3 格林函数

6.4 上下解方法

6.4.1 单调迭代方法

6.4.2 上下解方法

参考文献

《常微分方程》是作者在多年主讲“常微分方程”课程讲稿的基础上整理而成。《常微分方程》共有六章，分别是：一阶微分方程，一阶线性常微分方程组，高阶线性常微分方程，非线性微分方程基本理论，定性理论与分支方法初步，常微分方程边值问题。各章均配有适量的习题。

　　《常微分方程》可作为高等师范院校与综合性大学数学类专业的常微分方程课程的教材，也可作为物理、计算机等理工科同类课程的教学参考书。