实变函数论

第一章 实变函数论发展简史

一、实变函数论产生的背景与意义

二、实变函数论的发展历史

第二章 集合与点集

§2.1 集合及其运算

一、集合的概念

二、集合的运算

三、域（代数）

四、集合列的上极限、下极限与极限

习题2.1

§2.2 集合的基数

一、集合的对等与基数

二、可数集

习题2.2

§2.3 不可数无穷集合

第一章 实变函数论发展简史

一、实变函数论产生的背景与意义

二、实变函数论的发展历史

第二章 集合与点集

§2.1 集合及其运算

一、集合的概念

二、集合的运算

三、域（代数）

四、集合列的上极限、下极限与极限

习题2.1

§2.2 集合的基数

一、集合的对等与基数

二、可数集

习题2.2

§2.3 不可数无穷集合

习题2.3

§2.4 Rn中的点集

一、度量空间

二、邻域与极限

三、与距离有关的其他概念

习题2.4

§2.5 点的分类

一、内点、聚点、边界点

二、孤立集与稠密集

习题2.5

§2.6 开集、闭集及其构造

一、开集、闭集及其性质

二、一维开集、闭集、完备集的构造

三、康托尔集

四、Rn(n≥2）中的开集和闭集

习题2.6

第三章 可测集

§3.1 勒贝格测度

一、勒贝格外测度

二、勒贝格内测度

三、勒贝格测度

习题3.1

§3.2 可测集类与可测集的构造

一、博雷尔集的可测性

二、可测集的构造

习题3.2

§3.3 乘积空间

习题3.3

第四章 可测函数

§4.1 可测函数的概念及其简单性质

一、可测函数的概念

二、可测函数的性质

三、可测函数与简单函数的关系

习题4.1

§4.2 可测函数列的几种收敛性

一、几乎处处收敛与一致收敛

二、几乎处处收敛与依测度收敛

习题4.2

§4.3 可测函数的构造——可测函数与连续函数的关系

一、鲁金定理及其逆定理

二、可测函数的连续逼近——弗雷歇定理

习题4.3

第五章 勒贝格积分理论

§5.1 黎曼积分回顾与勒贝格积分简介

§5.2 有界函数的勒贝格积分及其性质

一、小和与大和

二、勒贝格积分及其存在条件

三、勒贝格积分与黎曼积分的关系

四、 勒贝格积分的性质

习题5.2

§5.3 一般可测函数的勒贝格积分

一、非负函数的勒贝格积分

二、一般函数的勒贝格积分

三、勒贝格积分的几何意义

习题5.3

§5.4 勒贝格积分的极限定理

一、勒贝格控制收敛定理及其推论

二、勒维定理

三、法都引理

四、三大极限定理的等价性

五、黎曼积分存在的充分必要条件

习题5.4

第六章 勒贝格意义下的微分与不定积分

§6.1 基本概念

一、导数

二、勒贝格不定积分

三、有界变差函数

四、绝对连续函数

习题6.1

§6.2 有界变差函数的可微性

一、单调函数的可微性

二、有界变差函数的可微性

习题6.2

§6.3 勒贝格积分意义下的牛顿莱布尼茨公式

一、勒贝格积分意义下的积分上、下限函数及其性质

二、绝对连续函数的可微性——勒贝格积分意义下的牛顿-莱布尼茨公式

习题6.3

§6.4 富比尼定理与分部积分公式

一、重积分与累次积分的关系

二、分部积分公式

习题6.4

名词索引

参考文献

习题答案与提示

本书从实变函数论的发展简史出发，深入浅出地阐述了实变函数论的基本理论、基本问题和基本方法.本书共分为六章，内容包括： 实变函数论发展简史、集合与点集、可测集、可测函数、勒贝格积分理论和勒贝格意义下的微分与不定积分等.本书各部分主题鲜明，逻辑性强，内容的讲解由浅入深，对基本概念的阐述透彻，着力将每个知识点与中学数学的知识及已经学过的大学其他数学课程(例如数学分析)联系起来，便于读者比较与加深理解，增加对知识背景的认识.书中也极力渗透拓扑学思想及较勒贝格积分理论更加一般的积分理论，为后续课程的学习奠定基础.书中每节配有适量的习题，其中既有对易于混淆的基础知识的考查，也有更为深刻的结果.书末附有习题答案与提示，便于教师教学和学生自学.
　　本书既可作为高等院校数学与应用数学专业实变函数论课程的教材，也可作为非数学专业该课程的教学参考书，还可作为相关科研人员的参考书.
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