物理学中的群论

第三版前言

第1章 群的基本概念 1

1.1 对称 1

1.2群及其乘法表 2

1.3群的各种子集 14

1.3.1 子群 14

1.3.2陪集和不变子群 14

1.3.3共轭元素和类 17

1.4 群的同态关系 21

1.5正多面体的固有对称变换群 23

1.5.1正四面体、正八面体和立方体 24

1.5.2 正十二面体和正二十面体 27

1.6群的直接乘积和非固有点群 29

1.6.1 群的直接乘积 29

1.6.2 非固有点群 30

习题1 32

第2章群的线性表示理论 34

2.1 群的线性表示 34

2.1.1线性表示的定义 34

2.1.2群代数和有限群的正则表示 35

2.1.3 类算符 38

2.2标量函数的变换算符 39

2.3等价表示和表示的幺正性 44

2.3.1 等价表示 44

2.3.2 表示的幺正性 45

2.4有限群的不等价不可约表示 46

2.4.1 不可约表示 46

2.4.2 舒尔定理 48

2.4.3 正交关系 49

2.4.4表示的完备性 51

2.4.5有限群不可约表示的特征标表 53

2.4.6自共轭表示和实表示 56

2.5 分导表示和诱导表示 57

2.5.1分导表示和诱导表示的定义和计算方法 57

2.5.2 D2n+i群的不可约表示 58

2.5.3 D2n群的不可约表示 60

2.6 物理应用 61

2.6.1定态波函数按对称群表示分类 62

2.6.2克莱布什-戈登级数和系数 64

2.6.3维格纳—埃伽定理 65

2.6.4正则简并和偶然简并 66

2.6.5 —个物理应用的实例 68

2.7有限群群代数的不可约基 71

2.7.1有限群正则表示的约化 71

2.7.2 D3群的不可约基 73

2.7.3 O群的特征标表和不可约基 73

2.7.4 T群的特征标表和不可约基 75

习题2 75

第3章置换群的不等价不可约表示 77

3.1置换群的原始幂等元 77

3.1.1理想和幂等元 77

3.1.2原始幂等元的性质 79

3.1.3杨图、杨表和杨算符 81

3.1.4杨算符的基本对称性质 85

3.1.5置换群群代数的原始幂等元 87

3.2置换群不可约表示的表示矩阵和特征标 94

3.2.1置换群不可约表示的表示矩阵 94

3.2.2计算特征标的等效方法 97

3.2.3三个客体的置换群S3 98

3.2.4 I群的特征标表 99

3.2.5不可约表示的实正交形式 100

3.3置换群不可约表示的内积和外积 103

3.3.1置换群不可约表示的直乘分解 103

3.3.2置换群不可约表示的外积 104

3.3.3 Sn+m群的分导表示 107

习题3 108

第4章三维转动群和李代数基本知识 110

4.1三维空间转动变换群 110

4.2李群的基本概念 113

4.2.1李群的组合函数 113

4.2.2李群的局域性质 114

4.2.3生成元和微量算符 115

4.2.4李群的整体性质 116

4.3三维转动群的覆盖群 119

4.3.1 二维幺模幺正矩阵群 120

4.3.2 同态关系 121

4.3.3群上的积分 123

4.3.4 SU(2)群群上的积分 126

4.4 SU(2)群的不等价不可约表示 127

4.4.1 酿自 127

4.4.2 SU(2)群的线性表示 130

4.4.3 0(3)群的不等价不可约表示 134

4.4.4球函数和球谐多项式 134

4.5 李式定理 139

4.5.1 李氏第一定理 139

4.5.2李氏第二定理 141

4.5.3李氏第三定理 142

4.5.4李群的伴随表示 143

4.5.5 李代数 144

4.6半单李代数的正则形式 145

4.6.1基林型和嘉当判据 145

4.6.2半单李代数的分类 147

4.7直乘表示的约化和旋量的概念 153

4.7.1 直乘表示的约化 153

4.7.2矢量场和张量场 157

4.7.3 旋量场 160

4.7.4总角动量算符及其本征函数 162

4.7.5 球旋函数 163

习题4 164

第5章晶体的对称性 167

5.1晶体的对称变换群 167

5.2 晶格点群 169

5.2.1点群元素R的可能形式 169

5.2.2晶体的固有点群 170

5.2.3晶体的非固有点群 174

5.3 晶系和布拉菲格子 175

5.3.1晶格矢量应满足的条件 175

5.3.2三斜晶系 178

5.3.3 单斜晶系 179

5.3.4 正交晶系 180

5.3.5三方晶系和六方晶系 180

5.3.6 四方晶系 184

5.3.7 立方晶系 185

5.4 空间群 188

5.4.1 对称元 188

5.4.2空间群的符号 190

5.4.3空间群的性质 196

5.5 空间群的不可约表示 197

5.5.1平移群的不可约表示 197

5.5.2波矢星和波矢群 199

5.5.3波矢群的不可约表示 201

5.5.4 晶体中电子的能带 202

习题5 204

参考文献 205

索引 211

《物理学中的群论》第三版分两篇出版， 《物理学中的群论: 有限群篇》是有限群篇， 但也包含李代数的基本知识. 《物理学中的群论: 有限群篇》从物理问题中提炼出群的概念和群的线性表示理论、通过有限群群代数的不可约基介绍杨算符和置换群的表示理论、引入标量场， 矢量场， 张量场和旋量场的概念及其函数变换算符、以转动群为基础解释李群和李代数的基本知识和半单李代数的分类、由晶体的平移不变性出发讲解晶体对称性和晶体的分类. 《物理学中的群论: 有限群篇》附有习题， 与《物理学中的群论: 有限群篇》配套的《群论习题精解》涵盖了习题解答.

《物理学中的群论: 有限群篇》适合作为凝聚态物理， 固体物理和光学等专业研究生的群论课教材或参考书， 也可供青年理论物理学家自学群论参考.