微分几何讲义

前言

第1章 微分流形

1.1 微分流形的定义及例子

1.1.1 欧氏空间

1.1.2 微分流形的定义

1.1.3 微分流形的例子

1.1.4 微分流形之间的映射

习题1.1

1.2 切空间

1.2.1 代数预备知识

1.2.2 切空间

1.2.3 余切空间

习题1.2

1.3 切丛与向量场

1.3.1 切丛与向量场

1.3.2 李括号积

1.3.3 切映射与余切映射

习题1.3

1.4 子流形

1.4.1 预备定理

1.4.2 浸入与嵌入

习题1.4

1.5 Frobenius定理

1.5.1 积分曲线

1.5.2 Frobenius定理

1.5.3 积分子流形

习题1.5

第2章 外微分形式

2.1.张量与张量积

2.1.1 多重线性函数与张量积

2.1.2 张量

2.1.3 对称与反对称张量

习题2.1

2.2 外代数

习题2.2

2.3 矢丛

习题2.3

2.4 外微分形式

2.4.1 外微分形式

2.4.2 外微分

2.4.3 Probenius定理的另一描述

习题2.4

2.5 单位分解与流形的定向

2.5.1.单位分解

2.5.2 流形的定向

2.5.3 带边流形

习题2.5

2.6 流形上的积分与stokes定理

2.6.1 外形式的积分

2.6.2 Stokes定理

2.6.3 deRham同调群

习题2.6

第3章 联络

3.1 联络和测地线

3.1.1 联络的定义及性质

3.1.2 平行移动和测地线

3.1.3 法坐标与指数映射

习题3.1

3.2 挠率和曲率

习题3.2

3.3 张量丛上的联络

3.3.1 矢丛上的联络

3.3.2 流形的张量丛上的联络

习题3.3

第4章 Riemann流形

4.1 Riemann几何基本定理

4.1.1 Riemann度量

4.1.2 Riemann联络

习题4.1

4.2 Riemann流形上的测地线

4.2.1 法极坐标

4.2.2 测地完备性

习题4.2

4.3 Riemann曲率

4.3.1 Riemann曲率张量

4.3.2 截面曲率

习题4.3

4.4 Jacobi场和共轭点

习题4.4

4.5 Riemann子流形

4.5.1 子流形的基本公式

4.5.2 活动标架法

4.5.3 欧氏空间的子流形

习题4.5

4.6 Hodge理论

4.6.1 星算子

4.6.2 Laplace算子

4.6.3 Hodge定理及其应用

4.6.4 Poincare对偶

习题4.6

4.7 Gauss-Bonnet定理

4.7.1 Eulei·示性类

4.7.2 向量场零点的指标

4.7.3 Eulel-Poincax数

4.7.4 Gauss-Bonnet定理

习题4.7

第5章 李群

5.1 李群与李代数

5.1.1 李群的定义与例子

5.1.2 李代数

5.1.3 流形上的单参数变换群

习题5.1

5.2 李群同态与指数映射

5.2.1 李群同态

5.2.2 指数映射

习题5.2

5.3 李群与李代数的伴随表示

5.3.1 李群与李代数的伴随表示

5.3.2 Killing-Cartan内积

习题5.3

5.4 齐性流形

5.4.1 齐性流形

5.4.2 齐性流形上的Riemann几何

习题5.4

5.5 tuemann对称空间

5.5.1 对称空间的性质

5.5.2 对称空间的曲率

习题5.5

参考文献

第6章 纤维丛理论

6.1 矢丛同态与矢丛上的联络

6.1.1 矢丛的同态与同构

6.1.2 诱导丛

6.1.3 矢丛上的联络

习题6.1

6.2 纤维丛与主丛

6.2.1 纤维丛

6.2.2 主丛的定义与例

6.2.3 相配矢丛

习题6.2

6.3 主丛上的联络

6.3.1 矢丛的标架丛上的联络

6.3.2 主丛上联络的定义与性质

6.3.3 水平提升

……

第7章 复流形

第8章 示性类

第9章 Clifford代数与旋量群

第10章 Atiyah-Singer指标定理

参考文献

名词索引

《微分几何讲义》以主丛与矢丛上的联络为主线介绍现代微分几何，《微分几何讲义》分两部分，各5章。前3章给出微分流形的基本概念，把欧氏空间的微积分推广到微分流形上。第4.5章分别讨论Riemann流形与李群及李代数。第6.7章分别介绍纤维丛理论与复流形，其中7.6节证明球面S6上没有可积的等距复结构。第8章介绍示性类，其中8.7节用示性类讨论Milnor的7维怪球。第9章介绍Clifford代数与旋量群。第10章介绍Atiyah。Singer指标定理、规范场论与Seiberg-Witten方程。《微分几何讲义》内容丰富，纲目清楚，论证严谨，易于学习。

　　第1～5章可以作为高年级本科生或研究生一学期的微分流形课程教材，第6~10章可以作为微分几何研究生教材，也可作为数学工作者的参考书。